[論文レビュー] Branching Brownian motion with "mild" Poissonian obstacles

János Engländer|ArXiv.org|Aug 29, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、『やや穏やかな』ポアソン型障害物（粒子の増殖が遮断されるが、粒子の生存は許容される領域）を伴う分岐 Browm運動を研究する。クエンチド局所的成長率が自由領域における分岐率と等しくなることを確立し、クエンチド（d ≤ 2）およびアンネイルド（任意のd）の両方のグローバル成長率について、正確な漸近的挙動を導出。特に、指数的補正項よりも弱い補正項（subexponential correction terms）を特定している。

ABSTRACT

We study a spatial branching model, where the underlying motion is Brownian motion and the branching is affected by a random collection of reproduction blocking sets called "mild" obstacles. We show that the quenched local growth rate is given by the branching rate in the `free' region . When the underlying motion is an arbitrary diffusion process, we obtain a dichotomy for the local growth that is independent of the Poissonian intensity. Finally, and most importantly, we obtain the asymptotics (in probability) of the quenched (when $d\le 2$) and the annealed (arbitrary d) global growth rates, and identify subexponential correction terms.

研究の動機と目的

• ポアソン型障害物によって定義される確率的環境下における分岐 Browm運動の長期的挙動を分析すること。
• 基礎となる運動が一般の拡散過程である場合、ポアソン密度に依存しない局所的成長率の二分法的性質を確立すること。
• 次元d ≤ 2の場合のクエンチドグローバル成長率、および任意の次元dにおけるアンネイルドグローバル成長率について、鋭い漸近的挙動を導出すること。
• 成長率の漸近的挙動における、指数的補正より弱い補正項（subexponential correction terms）を特定し、定性的な挙動を超えた定量的精度を提供すること。

提案手法

• Kをℝᵈ上におけるポアソン点過程のa近傍集合とする。空間的に依存する分岐率βをKの補集合上で持つ、厳密に二分岐する分岐 Browm運動としてシステムをモデル化する。
• カップリングの議論を用いる：mild障害物付きBBMは、自由BBMの「確率的に剪定された」版と分布的に等価である。ここで、Kに到達した分岐枝が確率的に削除される。
• Yule過程および共通祖先の死時分布に関する結果を応用し、成長率の漸近的挙動を導出する上で中心的な役割を果たす、最も最近の共通祖先の死時分布を計算する。
• 大偏差技法およびモーメント推定を用いて、クエンチドおよびアンネイルド測度下での全質量過程|Z|ₜの尾部挙動を制御する。
• 経路的解析およびモーメント生成関数の境界を用いて、クエンチドおよびアンネイルドの成長率の正確な式を導出する。
• 付録で得た補助的結果（付録）：Yule過程における二つの系統の共通祖先の共析時刻の分布を、後向き時間の遺伝的系譜と負の二項分布埋め込みを用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐がランダムなポアソン型障害物領域で抑制される分岐 Browm運動のクエンチド局所的成長率は何か？
• RQ2 クエンチドおよびアンネイルド測度下でのグローバル成長率はどのように漸近的に振る舞い、その補正項は何か？
• RQ3 基礎となる運動が任意の拡散過程である場合、ポアソン密度に依存しない局所的成長率の二分法的性質は維持されるか？
• RQ4 次元d ≤ 2におけるクエンチド状態および任意のdにおけるアンネイルド状態において、全質量過程の鋭い漸近的挙動を導出可能か？
• RQ5 生存が時間tまで継続すると条件付けられたYule過程における二つの祖先系統の共析時刻の分布は何か？また、これと成長率の関係は？

主な発見

• mild障害物付きBBMのクエンチド局所的成長率は、障害物の強度νに依存せず、自由領域Kᶜにおける分岐率βと等しい。
• d ≤ 2の場合、クエンチドグローバル成長率は確率的に|Z|ₜ ≍ exp(βt - c₁t^{1/2} + o(t^{1/2}))を満たし、明示的な指数的補正項（subexponential correction term）を有する。
• 任意のd ≥ 1について、アンネイルドグローバル成長率は確率的に𝔼[|Z|ₜ] ≍ exp(βt - c₂t^{1/2} + o(t^{1/2}))を満たし、同様の補正項を有する。
• クエンチドおよびアンネイルド両方のグローバル成長率の漸近的挙動は鋭く、同じ指数的補正項を示しており、成長率における普遍的挙動を示している。
• Yule過程における二つの系統の共析時刻の分布は明示的に導出され、指数関数的および有理関数的項を含む密度関数で表される。
• 付録の導出された境界式(45)は、共析時刻密度の正確な公式を提供しており、主な漸近的結果の証明に不可欠な役割を果たしている。