[論文レビュー] Branching Brownian motion with selection

Pascal Maillard|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 101被引用数 10

ひとこと要約

本学位論文は選択付き分岐 Browm運動を研究し、二つのモデルに焦点を当てる：空間時空的障壁における吸収と、N番目の右側の粒子のみが生存するN-BBM。N-BBMモデルにおいて、粒子クラスターの位置が時間スケール $\log^3 N$ で Lévy過程と線形ドリフトに収束することを確立し、Brunet, Derrida, Mueller, Munier が予言したノイズを含むFKPPフロントの理論を裏付ける。また、この系は安定点過程と関連づけられ、FKPP–Briot–Bouquet方程式の関係を用いて吸収確率を分析する。

ABSTRACT

In this thesis, branching Brownian motion (BBM) is a random particle system where the particles diffuse on the real line according to Brownian motions and branch at constant rate into a random number of particles with expectation greater than 1. We study two models of BBM with selection: BBM with absorption at a space-time line and the N-BBM, where, as soon as the number of particles exceeds a given number N, only the N right-most particles are kept, the others being removed from the system. For the first model, we study the law of the number of absorbed particles in the case where the process gets extinct almost surely, using a relation between the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskounov (FKPP) and the Briot-Bouquet equations. For the second model, the study of which represents the biggest part of the thesis, we give a precise asymptotic on the position of the cloud of particles when N is large. More precisely, we show that it converges at the timescale log^3 N to a Lévy process plus a linear drift, both of them explicit, which confirms a prediction by Brunet, Derrida, Mueller and Munier. This study contributes to the understanding of travelling waves of FKPP type under the influence of noise. Finally, in a third part we point at the relation between the BBM and stable point processes.

研究の動機と目的

• 分岐 Browm運動の選択機構下での挙動を理解すること、特に粒子数が空間的順位によって制御される系において。
• FKPP方程式とBriot–Bouquet方程式の関係を用いて、劣臨界的分岐過程における空間時空的障壁による粒子吸収数を分析すること。
• $N \to \infty$ の極限において、$N$-BBMモデルにおける右端粒子の明確な漸近的挙動を導出し、ノイズを伴うフロント伝播に関する理論的予測を確認すること。
• 分岐 Browm運動における極値粒子系と安定確率測度との間の関係を確立し、極限粒子配置の点過程表現を提供すること。

提案手法

• ノイズを含むFisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskounov (FKPP) 方程式との確率的カップリングを用いて、吸収確率を分析する。
• Briot–Bouquet方程式を通じた複素微分方程式技法を応用し、FKPP解の尾部挙動を研究し、吸収則を導出する。
• 粒子測度を平行移動不変成分と確率的シフトに分解し、写像 $\phi(\mu) = (T_{-M(\mu)}, M(\mu))$ を用いて位置と質量を分離する。
• 条件付き確率とスケーリング性質を用いて、基本測度 $\Delta$ の平行移動コピーの積分としてランダム測度 $\Lambda$ を構成し、$\Lambda = \int e^{-x} T_x \Delta \, dx$ の形を導出する。
• 重ね合わせ可能な点過程および安定確率測度の理論を応用し、$N$-BBMモデルにおける極値粒子の極限分布を特徴付ける。
• Tonelliの定理と積分推定を用いて、粒子過程の有限強度が $\mathbb{E}[\langle D, e^x \rangle] < \infty$ と同値であることを示し、装飾測度 $D$ の尾部挙動と系の強度との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 劣臨界的分岐 Browm運動における空間時空的障壁による粒子吸収数の分布は何か？
• RQ2 $N$-BBMモデルにおける右端粒子の位置は、$N \to \infty$ の極限でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 $N$-BBMモデルにおける粒子クラスターのフロント伝播を支配する極限過程は何か？また、Lévy過程および決定的ドリフトとどのように関係するか？
• RQ4 分岐 Browm運動における極値粒子系は、安定点過程および確率的測度とどのように関連するか？
• RQ5 点過程表現における粒子系の有限強度を保証する条件は何か？また、これは装飾測度の尾部挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 空間時空的障壁における吸収を伴うBBMでは、FKPPとBriot–Bouquet方程式の関係を用いて、消滅確率の正確な漸近的解析が可能となり、吸収粒子数が特定される。
• $N$-BBMモデルにおいて、右端粒子の位置は時間スケール $\log^3 N$ で明示的に特定されたLévy過程と線形ドリフトに収束し、Brunet, Derrida, Mueller, Munier の予測を裏付ける。
• 極限粒子系は強度測度が $e^{-x} \, dx$ に比例する重ね合わせ可能な点過程であることが示され、装飾測度 $D$ は $\mathbb{E}[\langle D, e^x \rangle] < \infty$ を満たす安定確率測度として特徴づけられ、有限強度が保証される。
• 粒子系を記述するランダム測度 $\Lambda$ は、一意的な分解 $\Lambda = \int e^{-x} T_x \Delta \, dx$ を持つ。ここで $\Delta$ は質量ゼロの平行移動不変測度空間上の確率測度であり、極値粒子過程の標準形を確立する。
• 装飾測度 $D$ が重尾を持つ場合、$\mathbb{E}[\langle D, e^x \rangle] = \infty$ となるため、粒子系は有限強度を持たないことが確認され、左尾部における粒子密度の発散を示唆する。
• 証明により、表現 $Z = \sum_i \delta_{\xi_i} \ast T_{\xi_i} D$ の対 $(m, D)$ は一意的であり、$m = \log \Delta(\mathcal{N}^*)$ により、点過程とその標準的成分の間の一対一対応が保証される。