[論文レビュー] Branching diffusions in random environment

Christian Böinghoff, Martin Hutzenthaler|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、確率的環境下の分岐過程（BPRE）の拡散近似、すなわち確率的環境下の分岐拡散（BDRE）を研究している。BDREは、ドリフトα、環境的ボラティリティσₑ、分岐的ボラティリティσ_bの3つのパラメータで制御される確率微分方程式（SDE）に従う。主な貢献は、正確な漸近的生存確率の特定であり、これは、部分的臨界的領域における相転移を示している：強部分的臨界的状況では、生存は不滅の個体に依存するが、弱部分的臨界的状況では、条件付き過程における超臨界的有効分岐のおかげで、不滅の個体がいなくても生存が持続する。

ABSTRACT

We consider the diffusion approximation of branching processes in random environment (BPREs). This diffusion approximation is similar to and mathematically more tractable than BPREs. We obtain the exact asymptotic behavior of the survival probability. As in the case of BPREs, there is a phase transition in the subcritical regime due to different survival opportunities. In addition, we characterize the process conditioned to never go extinct and establish a backbone construction. In the strongly subcritical regime, mean offspring numbers are increased but still subcritical in the process conditioned to never go extinct. Here survival is solely due to an immortal individual, whose offspring are the ancestors of additional families. In the weakly subcritical regime, the mean offspring number is supercritical in the process conditioned to never go extinct. Thus this process survives with positive probability even if there was no immortal individual.

研究の動機と目的

• 離散的BPREよりも数学的に取り扱いやすい、確率的環境下の分岐過程の拡散近似を分析すること。
• BDREモデルにおける生存確率の正確な漸近的挙動を特徴づけること。
• 異なる生存メカニズムに起因する部分的臨界的領域における相転移を調査すること。
• 非絶滅を条件とした過程のバックボーン分解を用いて構築すること。
• 不滅の個体と、条件付き過程における有効分岐率が果たす役割を明確にすること。

提案手法

• BDREは、独立なブラウン運動W^(b)とW^(e)を用いた確率微分方程式（SDE）系の強い解（Z_t, S_t）としてモデル化される。
• SDEは以下の通り：dZ_t = (1/2)σₑ²Z_t dt + Z_t dS_t + √(σ_b²Z_t) dW^(b)_t および dS_t = α dt + σₑ dW^(e)_t。
• 生存確率はラプラス変換と関連SDEの漸近的解析を用いて導出される。
• バックボーン構成は、不滅の系統とフェラーの分岐拡散の遷移からの移住を含む過程の分解によって確立される。
• 時間変換SDEアプローチを用いて、条件付き過程を移住付きフェラー過程と関連づける。
• 弱解とレヴィの特徴付けを用いて理論的結果の正当性を確認し、拡散構造を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BPREの拡散近似における生存確率の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 部分的臨界的領域では、異なる生存メカニズムに起因してどのように相転移が現れるか？
• RQ3 非絶滅を条件とした過程において、不滅の個体の役割は何か？
• RQ4 条件付き過程における有効分岐率はどのように変化し、それが部分的臨界的のままか、あるいは超臨界的になるかを決定づける要因は何か？
• RQ5 非絶滅を条件とした過程はバックボーン分解によって構築可能か？また、それは移住付きフェラー過程とどのように関係するか？

主な発見

• 生存確率は、条件付き過程における有効分岐率が部分的臨界的か超臨界的かに応じて、部分的臨界的領域で相転移を示す。
• 強部分的臨界的状況（α ≤ -σₑ²/2）では、生存は不滅の個体にのみ依存し、有効平均後代数は部分的臨界のまま保たれる。
• 弱部分的臨界的状況（α > -σₑ²/2）では、条件付き過程における有効平均後代数が超臨界的になるため、不滅の個体がいなくても生存が可能になる。
• 非絶滅を条件とした過程は、不滅の系統とフェラーの分岐拡散の遷移からの移住を含むバックボーン分解によって構築される。
• 条件付き過程が時間変換された移住付きフェラー過程と分布的に同等であることが示され、バックボーンの確率的解釈が得られる。
• 生存確率およびラプラス変換の明示的公式が導出され、分岐と環境のパラメータの寄与が明確に分離されている。