[論文レビュー] Branching Feller diffusion for cell division with parasite infection

Vincent Bansaye, Viet Chi Tran|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、細胞の分裂を伴う集団における寄生虫ダイナミクスを、連続時間の分岐・フェラー拡散過程を用いてモデル化する。各細胞内の寄生虫負荷はフェラー拡散過程に従い、細胞分裂に伴いランダムに分割される。主な貢献は、細胞の分裂率が寄生虫負荷に依存する場合に、感染細胞の割合が減少する（回復）か、または増加する（高感染状態が定着）かを定める条件を確立することにある。

ABSTRACT

We describe the evolution of the quantity of parasites in a population of cells which divide in continuous-time. The quantity of parasites in a cell follows a Feller diffusion, which is splitted randomly between the two daughter cells when a division occurs. The cell division rate may depend on the quantity of parasites inside the cell and we are interested in the cases of constant or monotone division rate. We first determine the asymptotic behavior of the quantity of parasites in a cell line, which follows a Feller diffusion with multiplicative jumps. We then consider the evolution of the infection of the cell population and give criteria to determine whether the proportion of infected cells goes to zero (recovery) or if a positive proportion of cells becomes largely infected (proliferation of parasites inside the cells).

研究の動機と目的

• 個々の細胞内の寄生虫負荷の連続時間的変化をモデル化すること。ここで、各細胞内の寄生虫量はフェラー拡散に従う。
• 細胞分裂を、寄生虫負荷 x に依存する率 r(x) で発生する連続時間のマコフ跳躍過程としてモデル化し、娘細胞間での寄生虫のランダムな分配（一般の確率変数 Θ を用いた非対称的分配を含む）を組み込むこと。
• 寄生虫負荷 x が細胞分裂率 r(x) に与える影響を分析すること。定数、減少、増加のいずれかのケースを想定する。
• 感染細胞の割合が時間とともに 0 に近づく（回復）か、正の値を保つ（増殖）かを決定する条件を同定すること。
• 離散的モデルが連続的フェラー拡散極限に収束することを確立し、極限過程が非局所的分岐と乗法的ジャンプを有するスーパープロセスとして特徴づけられることを示すこと。

提案手法

• 個々の細胞内の寄生虫負荷をフェラー拡散過程としてモデル化：dX_t = gX_t dt + √(2σ²X_t) dB_t で、g > 0 かつ σ > 0 により上昇的（supercritical）となるように設定する。
• 細胞分裂を、寄生虫負荷 x に依存する率 r(x) を持つ連続時間のマコフ跳躍過程としてモデル化する。
• 分裂時に、寄生虫は確率変数 Θ ∈ [0,1] を用いて2つの娘細胞に分配され、これにより寄生虫過程に乗法的ジャンプが生じる。
• 測度値過程 Z_t ∈ M_F(R_+) を用いて、細胞間における寄生虫負荷の分布を表す極限測度値過程をマルティンググレ問題のアプローチにより特徴づける。
• 有限次元分布の収束とトータルネスを用いて、離散近似が連続極限に弱収束することを示す。
• 生成演算子が発散的かつ閉じていることを示すことにより、マルティンググレ問題の解の一意性を証明し、極限過程が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間の経過とともに、集団内における感染細胞の割合が 0 に近づく（回復）か、正のままに保たれるか（増殖）かの条件は何か？
• RQ2 細胞分裂率 r(x) が寄生虫負荷 x に依存する場合、感染の長期的挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 寄生虫ダイナミクスが乗法的ジャンプを伴うフェラー拡散に従う場合、単一の細胞系統における寄生虫負荷分布の極限挙動は何か？
• RQ4 本モデルの連続時間・連続状態形式は、離散時間または離散状態モデルと比べて、回復基準においてどのように異なるか？
• RQ5 全集団レベルのダイナミクスは、非局所的分岐と乗法的ジャンプを有するスーパープロセスとして記述可能か？関連する生成演算子は何か？

主な発見

• 単一の細胞系統における寄生虫負荷は、分裂時刻に乗法的ジャンプを伴うフェラー拡散に従い、g > 0 のとき正の確率 1 - exp(-g x₀ / σ²) で生存する。
• 分裂率 r(x) が定数の場合、本モデルは離散時間モデルとは異なる回復行動を示し、感染の絶滅に関する明確な閾値が存在する。
• r(x) が減少する場合、寄生虫負荷の増加に伴い分裂率が著しく低下するほど、感染の回復が促進される。逆に r(x) が増加する場合、増殖が促進される。
• 極限集団レベルの過程 Z_t は、拡散ダイナミクス（σ²x f''(x)）と非局所的分岐（∫ r(x) [f(θx) + f((1-θ)x) - f(x)] K(dθ) Z(dx)）を含む生成演算子を持つ測度値拡散過程である。
• 離散モデルから連続極限への収束は、トータルネスとマルティンググレ問題の手法により確立され、極限過程は一意に特徴づけられる。
• 極限過程の生成演算子は発散的かつ閉じており、パスワイズの一意性と近似列の弱収束を保証する。