[論文レビュー] Branching of some holomorphic representations of SO(2,N)

Henrik Seppänen|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、SO(2,n) の正則離散的系列表現の SO₀(1,n) への制限における分岐を研究し、Lie 球上の重み付き Bergman 空間上のユニタリ表現の分解に注目する。一般化されたフーリエ変換を用いて明示的な交換作用素を構成し、プランシュレルの公式と逆公式を導出し、分解における離散的および最小表現の明示的実現を構築する。プランシュレル測度は、ある超幾何多項式の直交化測度として特定される。

ABSTRACT

In this paper we consider the analytic continuation of the weighted Bergman spaces on the Lie ball $$\mathscr{D}=SO(2,n)/S(O(2) imes O(n))$$ and the corresponding holomorphic unitary (projective) representations of SO(2,n) on these spaces. These representations are known to be irreducible. Our aim is to decompose them under the subgroup SO(1,n) which acts as the isometry group of a totally real submanifold $\mathscr{X}$ of $\mathscr{D}$. We give a proof of a general decomposition theorem for certain unitary representations of semisimple Lie groups. In the particular case we are concerned with, we find an explicit formula for the Plancherel measure of the decomposition as the orthogonalising measure for certain hypergeometric polynomials. Moreover, we construct an explicit generalised Fourier transform that plays the role of the intertwining operator for the decomposition. We prove an inversion formula and a Plancherel formula for this transform. Finally we construct explicit realisations of the discrete part appearing in the decomposition and also for the minimal representation in this family.

研究の動機と目的

• SO(2,n) のスカラー正則離散的系列表現の SO₀(1,n) への制限における分岐則を特定すること。
• 分解におけるプランシュレル測度を特定し、それが超幾何多項式の直交化測度とどのように関連するかを同定すること。
• 分解を実現する明示的な交換作用素（一般化されたフーリエ変換の形）を構成すること。
• 分解に用いられる一般化されたフーリエ変換に対する逆公式およびプランシュレルの公式を提供すること。
• 分解における離散的部および最小表現を関数空間内で明示的に実現すること。

提案手法

• Lie 球 D = SO(2,n)/S(O(2)×O(n)) 上の重み付き Bergman 空間を解析接続することで、ユニタリ表現を研究する。
• SO₀(1,n) の作用を、D 内の完全実部分多様体 X ⊂ D の等長群として用い、制限問題を誘導する。
• 表現空間と分解成分間の交換作用素として一般化されたフーリエ変換を構成する。
• 核関数から生じる超幾何多項式の族の直交化測度としてプランシュレル測度を同定することで、プランシュレル測度を導出する。
• 核関数 Kν(z,ζ) の積分表現およびべき級数展開を用いて、交換作用素の作用を分析する。
• 単位ディスク上の重み付き Bergman 空間の再生性を用いて、行列係数を計算し、ユニタリ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(2,n) の正則離散的系列表現は、部分群 SO₀(1,n) に対してどのように分解されるか？
• RQ2 分解におけるプランシュレル測度の明示的形は何か？ そして特殊関数とどのように関連するか？
• RQ3 分解の既約成分への実現を可能にする明示的な交換作用素を構成できるか？
• RQ4 分解に用いられる一般化されたフーリエ変換に対する逆公式およびプランシュレルの公式は何か？
• RQ5 Wallach 組合せにおける離散的部および最小表現を関数空間内で明示的に実現できるか？

主な発見

• 分岐分解のプランシュレル測度は、超幾何多項式の族の直交化測度として特定される。
• 明示的な一般化されたフーリエ変換が、表現空間と直積分分解の間のユニタリ交換作用素として構成される。
• 一般化されたフーリエ変換に対して逆公式およびプランシュレルの公式が確立され、そのユニタリ同値性が確認される。
• 交換作用素 T_{(n-2)/2} がユニタリであることが示され、有限個の球面調和関数の線形結合の完備化を、最小表現の正則 Fock 空間に写像することが確認される。
• H = SO₀(1,n) の最小表現 π_{(n-2)/2} は補完系列表現として実現され、それが既約であることが示される。
• 球面調和関数の T_{(n-2)/2} による像のノルムが明示的に計算され、定数 C_m = (n-2)/(2π²) が得られ、等長的拡張であることが確認される。