[論文レビュー] Branching problems of Zuckerman derived functor modules

Toshiyuki Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、実再帰的群の既約ユニタリ表現の分岐法を調査し、Zuckermanの導来ファンクター加群 $A_{\frak{q}}(\lambda)$ に注目して、無限多重度、非可約性、多重度自由分解、離散的分解可能性といった豊かな多様な特徴を明らかにする。幾何的量子化による楕円型共軛軌道との関係を確立し、今後の研究のための重要な予想を提示する。

ABSTRACT

We discuss recent developments on branching problems of irreducible unitary representations $π$ of real reductive groups when restricted to reductive subgroups. Highlighting the case where the underlying $(g,K)$-modules of $π$ are isomorphic to Zuckerman's derived functor modules $A_q(λ)$, we show various and rich features of branching laws such as infinite multiplicities, irreducible restrictions, multiplicity-free restrictions, and discrete decomposable restrictions. We also formulate a number of conjectures.

研究の動機と目的

• 実再帰的群の既約ユニタリ表現を再帰的部分群に制限したときの分解を理解すること。
• Zuckermanの導来ファンクター加群 $A_{\frak{q}}(\lambda)$ の分岐法を分析し、特にその多重度および非可約性の性質を検討すること。
• 分岐問題と楕円型共軛軌道の幾何的量子化との関係を探索すること。
• 対称対における多重度自由性、離散的分解可能性、ユニタリゼーションに関する新しい予想を提示すること。
• 表現論における多様な分岐現象を統一的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• パラボリック部分代数からのコhomological誘導として、既約ユニタリ表現を実現するZuckermanの導来ファンクター構成を用いる。
• Dolbeaultコホモロジーによる $A_{\frak{q}}(\lambda)$ の実現 $H^{S}_{\bar{\partial}}(G/L, \mathcal{L}_{\lambda+\rho(\frak{u})})$ を用いて、ユニタリ構造を研究する。
• 楕円型共転軌道の幾何的量子化を適用し、$A_{\frak{q}}(\lambda)$ を正則ラインバンドルおよび $G$-不変な複素構造と結びつける。
• Schmidの最大性原理を適用し、$A_{\frak{q}}(\lambda)$ のユニタリグローバライゼーションをFréchet位相における最大グローバライゼーションとして同定する。
• Voganの「良い範囲」の条件を用いて、ユニタリ表現 $\pi_\lambda$ の非可約性および非ゼロ性を保証する。
• $G$-加群を $G'$ に制限することにより分岐法を分析し、特に $G'$ が再帰的であるような対称対 $(G,G')$ を対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zuckermanの導来ファンクター加群 $A_{\frak{q}}(\lambda)$ を再帰的部分群 $G'$ に制限したとき、どのような条件下で非可約性を保つのか？
• RQ2 $A_{\frak{q}}(\lambda)$ を $G'$ に制限した場合、多重度が有限か無限かはどのように分かれるか？
• RQ3 $A_{\frak{q}}(\lambda)$ を $G'$ に制限した場合、いつ離散的分解可能となるか？
• RQ4 対称対における $A_{\frak{q}}(\lambda)$ の多重度自由分岐法はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 どの対称対 $(G,G')$ において、$A_{\frak{q}}(\lambda)|_{G'}$ がPlancherel型分解を持つのか？

主な発見

• $A_{\frak{q}}(\lambda)$ を再帰的部分群 $G'$ に制限した場合、$A_{\frak{q}}(\lambda)$ が $({\frak{g}},K)$-加群として非可約であっても、無限多重度を有することがある。
• $A_{\frak{q}}(\lambda)$ を $G'$ に制限しても非可約のままとなる例が存在し、これは有限次元表現では観察されない現象である。
• $A_{\frak{q}}(\lambda)$ を $G'$ に制限した場合、離散的分解可能となることがある。これは、それが非可約 $G'$-表現の直和に分解されることを意味する。
• 制限のスペクトルが純粋に連続的である場合もあり、Plancherel公式における非離散測度を含む分解を示す。
• $\lambda$ が良い範囲にあるとき、$A_{\frak{q}}(\lambda)$ に付随するユニタリ表現 $\pi_\lambda$ は非可約かつ非ゼロであり、ユニタリゼーションが保証される。
• Zuckermanの導来ファンクター加群 $A_{\frak{q}}(\lambda)$ は、Dolbeaultコホモロジー $H^{S}_{\bar{\partial}}(G/L, \mathcal{L}_{\lambda+\rho(\frak{u})})$ に同型であり、Fréchet位相と連続的 $G$-作用を持つ。