[論文レビュー] Branching processes in random environment which extinct at a given moment

Christian Boeinghoff, E. E. Dyakonova+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、環境の対数的平均子孫分散が有限である場合、確率的環境下での臨界的分岐過程が特定の時刻 $ n+1 $ に絶滅する条件のもとで、アンネールド測度の下で関数極限定理を確立する。このとき、『急激な絶滅』は発生せず、$ Z_n \mid T=n+1 $ は $ \mathbb{N} $ 上で非退化分布に弱収束する。さらに、スケーリングされた過程 $ \{Z_{nt} e^{-S_{nt}} \}_{t \in [\delta,1-\delta]} $ は、連続的極限過程に分布収束する。

ABSTRACT

Let ${Z_{n},n\geq 0} $ be a critical branching process in random environment and let $T$ be its moment of extinction. Under the annealed approach we prove, as $n o \infty ,$ a limit theorem for the number of particles in the process at moment $n$ given $T=n+1$ and a functional limit theorem for the properly scaled process ${Z_{nt},δ\leq t\leq 1-δ} $ given $T=n+1$ and $δ\in (0,1/2)$.

研究の動機と目的

• 環境の分散が有限である場合に、特定の時刻 $ n+1 $ に絶滅する条件付きで、臨界的分岐過程の関数極限定理を証明することで、文献における空白を埋める。
• 環境の2次のモーメントが有限である場合に、重尾的環境で観察された『急激な絶滅』現象が、アンネールドアプローチでも継続するかを検討する。
• 非退化分布への弱収束 $ \mathcal{L}(Z_n \mid T = n+1) $ を確立し、重尾的設定における既存結果と対比する。
• 時刻 $ n+1 $ に絶滅する条件のもとで、過程 $ \{Z_{nt} \}_{t \in [\delta,1-\delta]} $ の漸近的挙動を、測度変換技術を用いて分析する。
• 特に有限分散領域において、このような過程の経路的挙動を理解するための厳密な確率的枠組みを提供する。

提案手法

• 時刻 $ n+1 $ に絶滅する条件付きで、アンネールド測度の下で分岐過程を条件づけ、$ n \to \infty $ の下での $ Z_n \mid T = n+1 $ の漸近的挙動を研究する。
• 関連するランダムウォーク $ S_n = \sum_{i=1}^n X_i $（$ X_i = \log f_i'(1) $）を用いて、測度変換技術を適用し、過程の法則を再重み付けする。
• 子孫分布の母関数 $ f_n(s) $ および関連量 $ f_n'(1) $, $ f_n''(1) $, $ \eta_n $ を用いて、環境を特徴付ける。
• ランダムウォーク $ S_n $ および絶滅時刻近傍の環境挙動を制御するためのイベント $ \mathcal{K}(M,\delta) $ を導入し、緊密性を保証する。
• 生成関数の差 $ f_{m,n+1}^{Z_m}(0) - f_{m,n}^{Z_m}(0) $ に対する推定を用いて、時刻 $ n+1 $ での絶滅確率を評価し、指数的および多項式的評価を適用する。
• 与えられた仮定のもとで $ \mathbf{P}(T = n+1) \sim c n^{-3/2} $ が成り立ち、この事実と条件付きモーメント推定を組み合わせることで、弱収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境の2次のモーメントが有限である場合、アンネールド測度の下でも『急激な絶滅』現象（人口が急激に増加してから崩壊する）が継続するか？
• RQ2 $ \mathbb{E}[X^2] < \infty $ の下で、$ Z_n \mid T = n+1 $ の極限分布は何か？ また、自然数上に集中するか？
• RQ3 時刻 $ n+1 $ に絶滅する条件のもとで、過程 $ \{Z_{nt} e^{-S_{nt}} \}_{t \in [\delta,1-\delta]} $ はどのように振る舞い、分布収束するか？
• RQ4 アンネールド測度の下で、条件付き過程 $ \{Z_{nt} \}_{t \in [\delta,1-\delta]} \mid T = n+1 $ に対して関数極限定理を確立できるか？
• RQ5 ランダムウォーク $ S_n $ は、固定時刻に絶滅する条件付きで分岐過程の法則を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• アンネールド測度の下で $ \mathbb{E}[X^2] < \infty $ を仮定すると、条件付き法則 $ \mathcal{L}(Z_n \mid T = n+1) $ は $ \mathbb{N} $ 上で非退化分布に弱収束する。これは『急激な絶滅』の不在を示唆する。
• 関数極限定理が成立する：過程 $ \{Z_{nt} e^{-S_{nt}} \}_{t \in [\delta,1-\delta]} \mid T = n+1 $ は、$ n \to \infty $ の下で連続的極限過程に分布収束する。
• 与えられたモーメントおよび非格子仮定のもとで、絶滅確率は $ \mathbf{P}(T = n+1) \sim c n^{-3/2} $（$ c > 0 $ なる定数）を満たす。
• 有限分散下では急激な絶滅が観察されないのに対し、重尾的ケースでは $ \mathbf{P}(T = n+1) \sim c n^{-\alpha} $（$ \alpha \in (0,2) $）であり、$ \log Z_{[nt]} \sim n^{1/\alpha} $ となる。
• 証明は、環境をイベント $ \mathcal{K}(M,\delta) $ で制御し、生成関数の差に対する指数的および多項式的評価を用いて絶滅確率を制御することに依拠する。
• 収束は、$ \tau(n) $ が端点付近にあるパスの寄与が無視可能であることを示し、$ S_n $ の尾部挙動を制御するための測度変換アプローチを適用することで確立される。