[論文レビュー] Branching random walk with a random environment in time

Chunmao Huang, Quansheng Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する確率的環境におけるℝ上の分岐的ランダムウォークを研究し、粒子位置の経験測度に関する大偏差原理、中心極限定理および局所極限定理、および極値位置（右端および左端の粒子）に関する大数の法則を確立する。主な貢献は、過剰性および混合性の仮定の下で、正規化された極値位置が明示的な確率的極限にほとんど確実に収束することを示したことにある。

ABSTRACT

We consider a branching random walk on $\mathbb{R}$ with a stationary and ergodic environment $ξ=(ξ_n)$ indexed by time $n\in\mathbb{N}$. Let $Z_n$ be the counting measure of particles of generation $n$. For the case where the corresponding branching process $\{Z_n(\mathbb{R})\}$ $ (n\in\mathbb{N})$ is supercritical, we establish large deviation principles, central limit theorems and a local limit theorem for the sequence of counting measures $\{Z_n\}$, and prove that the position $R_n$ (resp. $L_n$) of rightmost (resp. leftmost) particles of generation $n$ satisfies a law of large numbers.

研究の動機と目的

• 時間一様な確率的環境を有する分岐的ランダムウォークにおける計数測度 $ Z_n $ の漸近的挙動を分析すること。
• クエンチドおよびアンネイルド測度の下で、スケーリングされた経験測度 $ Z_n(n\bullet) $ に対する大偏差原理を確立すること。
• 正規化された経験測度 $ \mathbb{E}_\xi[Z_n(\bullet)/Z_n(\mathbb{R})] $ 及びそのアンネイルド版に対する中心極限定理および局所極限定理を導出すること。
• 右端および左端の粒子位置 $ R_n $ および $ L_n $ に対する大数の法則を証明し、それらの正規化された位置が明示的な極限にほとんど確実に収束することを示すこと。
• 独立同分布環境における古典的結果を、定常的かつ混合的な時間に依存する環境の状況に拡張すること。

提案手法

• 自由エネルギー $ \frac{1}{n}\log \tilde{Z}_n(t) $ が明示的な極限に収束することを用いて、ガルトナー＝エラーの定理を適用し、クエンチド平均 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ に対する大偏差原理を導出する。
• $ Z_n(\mathbb{R})/P_n $ のマルティンゲール収束を $ W $ に用い、$ P_n = \prod_{i=0}^{n-1} m_i $ とし、非退化性のため $ \mathbb{E}\log m_0 > 0 $ および $ \mathbb{E}\frac{N}{m_0}\log^+ N < \infty $ を仮定する。
• クエンチド中心極限定理を確立する：$ \mathbb{E}_\xi[Z_n(-\infty, b_n x + a_n]/Z_n(\mathbb{R}) \mid Z_n(\mathbb{R})>0] \to \Phi(x) $ a.s. であり、$ a_n = \sum_{i=0}^{n-1} \mu_i $、$ b_n = (\sum_{i=0}^{n-1} \sigma_i^2)^{1/2} $ である。
• 生存を条件付け、ドミネートド収束定理を用いてクエンチドとアンネイルドの極限の差を制御することで、アンネイルド中心極限定理を証明する。
• 極値位置 $ R_n $ および $ L_n $ を、$ \frac{1}{n} \log \tilde{Z}_n(t) $ の収束およびモーメント母関数の漸近的挙動を用いて分析する。
• クエンチド平均 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ が大偏差原理を満たし、$ \tilde{Z}_n(t) $ が環境のリャプノフ指数によって定まる指数的成長を示すことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する確率的環境における分岐的ランダムウォークにおいて、経験測度 $ Z_n(n\bullet) $ は大偏差原理を満たすか？
• RQ2 正規化された右端および左端の粒子位置の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 クエンチドおよびアンネイルドの粒子位置分布に対して中心極限定理は成立するか？ そのスケーリング極限は何か？
• RQ4 $ R_n/n $ および $ L_n/n $ のほとんど確実な極限は何か？ それは環境にどのように依存するか？
• RQ5 独立同分布環境における分岐的ランダムウォークの古典的結果は、定常的かつ混合的な時間に依存する環境の状況に拡張可能か？

主な発見

• クエンチド測度の下で、列 $ \{Z_n(n\bullet)\} $ は大偏差原理を満たす。レート関数はガルトナー＝エラーの定理を用いて導出される。
• 自由エネルギー $ \frac{1}{n}\log \tilde{Z}_n(t) $ は、環境のモーメント母関数に依存する明示的な極限にほとんど確実に収束する。
• 正規化された右端および左端の粒子位置は大数の法則を満たす：$ \frac{R_n}{n} \to \rho $ および $ \frac{L_n}{n} \to \ell $ a.s. であり、$ \rho $ および $ \ell $ は環境のモーメント母関数によって明示的に決定される。
• クエンチドおよびアンネイルドの粒子位置分布は中心極限定理を満たす：$ \mathbb{E}_\xi[Z_n(-\infty, b_n x + a_n]/Z_n(\mathbb{R}) \mid Z_n(\mathbb{R})>0] \to \Phi(x) $ a.s. であり、アンネイルド版は標準正規分布関数に分布収束する。
• 適切な非格子およびモーメント条件の下で局所極限定理が成立し、中心化およびスケーリング後の粒子位置の密度がガウス密度に収束することが保証される。
• クエンチド平均 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ の確定的極限への収束は、大偏差結果の根拠であり、条件 $ \mathbb{E}\frac{N}{m_0}\log^+ N < \infty $ は極限マルティンゲール $ W $ の非退化性を保証する。