[論文レビュー] Branching Random Walks with Immigration. Lyapunov Stability

Yu. Makarova, Dan Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、移民を伴う多次元格子上の連続時間分岐的ランダムウォークを研究し、状態依存強度下でのリャプノフ安定性に注目する。1次および2次モーメントのモーメント方程式と漸近的境界を導出し、出生率が部分的である場合でさえも、移民が過程の絶滅に対する安定化をもたらすことを示している。2次モーメントは空間的強度関数および拡散係数によって変調された安定したプロファイルに収束する。

ABSTRACT

We consider a continuous-time symmetric branching random walk on multidimensional lattices with immigration and infinite number of initial particles. We assume that at every lattice point a process of birth and death of particles is described by a Bienayme-Galton- Watson branching process. The assumption on immigration of particles is that a new particle can appear at every lattice point from the outside. The subject of the study is a limit distribution of the particle field on the lattice. The differential equations for correlation functions for the number of particles at an arbitrary time moment at the fixed points on the lattice are obtained. We study the asymptotic behaviour for the first two moments of a number of particles at every lattice point and Lyapunov stability of the process. The Lyapunov stability is considered under the assumptions that birth, death and immigration intensities depend on the lattice points.

研究の動機と目的

• 時間的・空間的依存強度下での多次元格子上における分岐的ランダムウォークのリャプノフ安定性を確立すること。
• 微小な摂動に対して不安定となる標準的な臨界的分岐過程の問題を、移民を安定化要因として導入することにより解決すること。
• 出生・死・移民率の空間的不均一性を考慮した粒子場の1次および2次モーメントを導出し、分析すること。
• 摂動を伴う非一様環境下でも、長期間安定した状態に収束する2次モーメントの漸近的推定値を提供すること。
• 基礎となる分岐過程がそれ以外の場合は崩壊する可能性があるとしても、移民が存在する限り、系が統計的平衡に達することを示すこと。

提案手法

• 粒子場 $ n(t,x) $ を $ \mathbb{Z}^d $ 上の連続時間マルコフ過程としてモデル化し、粒子が対称的ランダムウォーク、2進分岐または一般分岐、および移民を経験するものとする。
• 強度 $ \varkappa $ を持つ元の対称的ランダムウォークの生成作用素 $ \mathcal{L} $ を用い、遷移率 $ a(z) = a(-z) $ が対称的かつ既約であると仮定する。
• 1次モーメント $ m_1(t,x,y) $ の微分方程式を導出し、初期条件の指数的減衰と定常状態プロファイルへの収束を示す。
• 高度な確率的微積分を用いて、分岐・拡散・移民の相互作用を組み込んだ2次モーメント $ m_2(t,x,y) $ の2階微分方程式を導出する。
• $ \varepsilon $-依存の強度関数の境界を用いた摂動解析により、2次モーメントの上界および下界を導出する。
• 母関数技法を慎重に適用するが、非一様強度下では完全なモーメントダイナミクスを捉えるには限界があると指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・空間的依存強度下で、$ \mathbb{Z}^d $ 上の部分的または臨界的分岐的ランダムウォークが移民によってどのように安定化されるか。
• RQ2 空間的不均一性と移民が存在する状況下で、粒子場の1次および2次モーメントの漸近的挙動はいかなるものか。
• RQ3 出生・死・移民率が空間的に変動する場合、2次モーメントに対してリャプノフ安定性を確立できるか。
• RQ4 強度関数の摂動が、2次モーメントの長期間挙動および系の安定性にどのように影響するか。
• RQ5 非一様環境下における拡散、分岐、移民の相乗作用を反映する2次モーメントの正確な境界は何か。

主な発見

• 2次モーメント $ m_2(t,x,y) $ は、$ L(t,x,y) $、$ \frac{k_0^2}{v_0^2} $、および $ t $ に関して指数的に減衰する項を含む上界および下界で抑えられ、定数は $ \varepsilon $、$ k_0 $、$ \varkappa $、$ v_0 $ に依存する。
• $ t \to \infty $ のとき、2次モーメントの漸近的挙動は $ L(t,x,y) + \frac{k_0^2}{v_0^2} + O(\varepsilon) $ に収束し、長期的安定性を示す。
• 上界および下界は $ m_2(t,x,y) \leq L(t,x,y) + \frac{k_0^2}{v_0^2} + \frac{k_0\varkappa}{v_0^2} + C_2^+ e^{-(v_0 - \varepsilon)t} + O(\varepsilon) $ と表され、下界についても同様の形となる。
• 項 $ \frac{k_0^2}{v_0^2} $ は、定常状態における2次モーメントの主要寄与を占め、移民強度 $ k_0 $ に起因する。
• 指数的減衰項 $ e^{-(v_0 \pm \varepsilon)t} $ および $ e^{-2(v_0 \pm \varepsilon)t} $ が一時的挙動を支配し、均衡への収束を保証する。
• 系はリャプノフ安定性を示す：強度関数の微小な摂動は、2次モーメントにおける有界なずれを引き起こすが、誤差項は $ O(\varepsilon) $ で制御される。