[論文レビュー] Branching structure for an (L-1) random walk in random environment and its applications

Wenming Hong, Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、(L-1) ランダムウォークのランダム環境における分析のため、確率的環境下での多型分岐過程と移住（MBPREI）を導入し、不変密度の新しい導出および安定極限定理の確立を可能にした。下降的ジャンプを重複する粒子追跡を通じて再解釈することで、著者らは Kesten-Kozlov-Spitzer の最近接隣接ウォークに対する結果を一般化する安定極限定理を確立した。

ABSTRACT

By decomposing the random walk path, we construct a multitype branching process with immigration in random environment for corresponding random walk with bounded jumps in random environment. Then we give two applications of the branching structure. Firstly, we specify the explicit invariant density by a method different with the one used in Brémont [3] and reprove the law of large numbers of the random walk by a method known as the environment viewed from particles". Secondly, the branching structure enables us to prove a stable limit law, generalizing the result of Kesten-Kozlov-Spitzer [11] for the nearest random walk in random environment. As a byproduct, we also prove that the total population of a multitype branching process in random environment with immigration before the first regeneration belongs to the domain of attraction of some κ-stable law.

研究の動機と目的

• 有界ジャンプを伴う (L-1) ランダム環境下のランダムウォークをモデル化するため、移住を伴う多型分岐過程（MBPREI）を構築すること。
• Brémont [3] で用いられた (IM) 条件に依存しない、不変密度の代替的導出を提供すること。
• 「粒子から見た環境」の方法を用いて、(L-1) RWRE の大数の法則を再証明すること。
• 最近接隣接ウォークに対する Kesten-Kozlov-Spitzer の結果を一般化する、(L-1) RWRE における安定極限定理を確立すること。
• 最初の再生までの移住を伴う多型分岐過程の全個体数が、κ-安定分布の吸引域にあることを示すこと。

提案手法

• 状態 i からのサイズ l の下降的ジャンプを、状態 i−1, ..., i−l がそれを記憶しているようにモデル化するため、ランダムウォークの経路を重複するセグメントに分解する。
• 各世代に1体のタイプ1移住個体を有する、確率的環境下の多型分岐過程を構築し、状態 n の最初の到達時刻 T_n を表現する。
• 分岐構造を用いて、最初の通過時刻のクエンチド分布を分析し、分岐過程の定常分布を通じて不変密度を導出する。
• 「粒子から見た環境」の方法を適用し、粒子の運動からの環境の視点を分析することで、大数の法則を再証明する。
• モーメントの有界性とモーメント母関数の技法を用いて、最初の通過時刻のスケーリング極限を分析し、安定極限定理を確立する。
• 分岐過程の κ 階モーメントと確率的行列の積を含むモーメント推定および尾確率の境界を用い、安定分布への収束を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界ジャンプを伴う (L-1) ランダム環境下のランダムウォークをモデル化するため、移住を伴う多型分岐過程を構築可能か？
• RQ2 この分岐構造により、Brémont [3] の (IM) 条件に依存せずに不変密度を直接導出可能か？
• RQ3 この分岐構造を介して、「粒子から見た環境」の方法を用いて、(L-1) RWRE の大数の法則を再証明可能か？
• RQ4 (L-1) RWRE の最初の通過時刻は、Kesten-Kozlov-Spitzer の結果を一般化して安定分布に収束するか？
• RQ5 最初の再生までの移住を伴う多型分岐過程の全個体数は、κ-安定分布の吸引域にあるか？

主な発見

• 有界ジャンプを伴う (L-1) ランダム環境下のランダムウォークをモデル化するため、重複ジャンプ記憶を用いた経路分解を可能にする、移住を伴う多型分岐過程（MBPREI）が成功裏に構築された。
• 分岐構造を用いて、Brémont [3] の (IM) 条件に依存せずに、(L-1) RWRE の不変密度が明示的に導出された。
• 分岐過程の枠組みを用いて、「粒子から見た環境」の方法により、(L-1) RWRE の大数の法則が再証明された。
• 最近接隣接ウォークに対する Kesten-Kozlov-Spitzer の結果を一般化する、(L-1) RWRE の最初の通過時刻に関する安定極限定理が確立された。
• 最初の再生までの移住を伴う多型分岐過程の全個体数が、κ-安定分布の吸引域にあることが示された。
• 確率的行列の積と分岐過程の κ 階モーメントを含むモーメント推定および尾の境界を用いて、収束の緊密性と安定分布への収束が証明され、環境のモーメント条件に依存する境界が得られた。