[論文レビュー] Branching-time model checking of one-counter processes

Stefan Göller, Markus Lohrey|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2009

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1カウンタプロセス（OCP）上の計算木論理（CTL）の分岐時間モデルチェックの計算複雑性を確立する。OCPにおける周期的挙動を活用する新しいアルゴリズムを導入し、固定されたOCPおよび左向きuntilの深さが有界なCTL式に対して多項式時間モデルチェックを達成する一方で、式の複雑さとデータの複雑さが、固定された式やOCPに対してもPSPACE完全であることを証明する。

ABSTRACT

One-counter processes (OCPs) are pushdown processes which operate only on a unary stack alphabet. We study the computational complexity of model checking computation tree logic (CTL) over OCPs. A PSPACE upper bound is inherited from the modal mu-calculus for this problem. First, we analyze the periodic behaviour of CTL over OCPs and derive a model checking algorithm whose running time is exponential only in the number of control locations and a syntactic notion of the formula that we call leftward until depth. Thus, model checking fixed OCPs against CTL formulas with a fixed leftward until depth is in P. This generalizes a result of the first author, Mayr, and To for the expression complexity of CTL's fragment EF. Second, we prove that already over some fixed OCP, CTL model checking is PSPACE-hard. Third, we show that there already exists a fixed CTL formula for which model checking of OCPs is PSPACE-hard. To obtain the latter result, we employ two results from complexity theory: (i) Converting a natural number in Chinese remainder presentation into binary presentation is in logspace-uniform NC^1 and (ii) PSPACE is AC^0-serializable. We demonstrate that our approach can be used to obtain further results. We show that model-checking CTL's fragment EF over OCPs is hard for P^NP, thus establishing a matching lower bound and answering an open question of the first author, Mayr, and To. We moreover show that the following problem is hard for PSPACE: Given a one-counter Markov decision process, a set of target states with counter value zero each, and an initial state, to decide whether the probability that the initial state will eventually reach one of the target states is arbitrarily close to 1. This improves a previously known lower bound for every level of the Boolean hierarchy by Brazdil et al.

研究の動機と目的

• 1カウンタプロセス（OCP）上のCTLモデルチェックの計算複雑性を特定すること。
• OCPにおけるCTL式の満たしの周期的構造を分析し、効率的なモデルチェックアルゴリズムの設計を行うこと。
• OCP上のCTLモデルチェックの式の複雑さとデータの複雑さについて、タイトな複雑さの上限と下限を確立すること。
• OCP上でのEFフラグメントのモデルチェックの複雑さに関する未解決の問題を解消すること。
• 本手法が、1カウンタMDPにおける確率的到達可能性などの関連問題へ応用可能であることを示すこと。

提案手法

• 著者は、OCP上でのCTL式の満たしの周期的構造を、カウンタ値と制御状態に焦点を当てて分析する。
• モデルチェックアルゴリズムにおける指数的ブロードキャストの増大を制限するための文法的測度「左向きuntilの深さ」を定義する。
• 制御状態の数と左向きuntilの深さにしか指数的依存しない実行時間を持つモデルチェックアルゴリズムを設計し、固定されたOCPおよび固定された左向きuntilの深さに対してPTIMEを達成する。
• PSPACE完全問題、特に交互的単一記号有限オートマトンの空集合判定問題からの還元を用いて、PSPACE困難性を証明する。
• 複雑性理論的結果を適用する：中国剰余定理の対数空間均一NC¹による2進数変換と、PSPACEのAC⁰-可シリアル化性を用いて、困難性還元を構築する。
• 本手法を拡張し、P^NPおよび1カウンタMDPにおける確率的到達可能性問題の困難性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1カウンタプロセス上のCTLモデルチェックの計算複雑性は何か？
• RQ2 OCPまたは左向きuntilの深さが固定された場合、モデルチェック問題は多項式時間で解けるか？
• RQ3 1カウンタプロセス上のCTLモデルチェックの式の複雑さはPSPACE完全か？
• RQ4 1カウンタプロセス上のCTLモデルチェックのデータの複雑さはPSPACE完全か？
• RQ5 0カウンタターゲット状態を持つ1カウンタMDPにおける確率的到達可能性問題の複雑さは何か？

主な発見

• OCP上のCTLモデルチェックは、OCPや式が固定されてもPSPACE完全である。
• 固定されたOCPおよび左向きuntilの深さが固定されたCTL式に対して、モデルチェックはPに属する。これは、事前に知られていたEFフラグメントに対する結果を一般化する。
• 1カウンタプロセス上のCTLモデルチェックの式の複雑さはPSPACE困難であり、重要な複雑さの境界が解明された。
• 1カウンタプロセス上のCTLモデルチェックのデータの複雑さはPSPACE困難であり、固定されたCTL式に対しても成り立つ。
• OCP上のCTLのEFフラグメントはP^NP困難であり、一致する下界を確立し、未解決の問題を解決した。
• 0カウンタターゲット状態を持つ1カウンタMDPにおける確率的到達可能性問題はPSPACE困難であり、ブール階層における既存の下界を改善した。