[論文レビュー] Branes on Poisson varieties

Marco Gualtieri|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正則ポアソン多様体の新たな同値関係を導入し、それが正則的でない性質を持つものであり、ポアソン多様体上の brane と一般化されたケーラー幾何の間の関係を結ぶ。正則的でないポアソンラインバンドル（例えばファノ多様体）を備えたコンパクトな正則ポアソン多様体に対して、一般化接続とリーマン・チェビシェフ接続に類似した標準接続を用いて、一般化されたケーラー構造の明示的族を構成する。

ABSTRACT

We first extend the notion of connection in the context of Courant algebroids to obtain a new characterization of generalized Kaehler geometry. We then establish a new notion of isomorphism between holomorphic Poisson manifolds, which is non-holomorphic in nature. Finally we show an equivalence between certain configurations of branes on Poisson varieties and generalized Kaehler structures, and use this to construct explicitly new families of generalized Kaehler structures on compact holomorphic Poisson manifolds equipped with positive Poisson line bundles (e.g. Fano manifolds). We end with some speculations concerning the connection to non-commutative algebraic geometry.

研究の動機と目的

• 正則ポアソン多様体間の同型の新しい概念を定義し、それらの複素構造が正則同値である必要がないようにすること。
• ポアソン多様体上の brane の配置と一般化されたケーラー構造との間の対応関係を確立すること。
• 正則ポアソン多様体に正のポアソンラインバンドル（例えばファノ多様体）を備えたコンパクト多様体に対して、一般化されたケーラー構造の明示的族を構成すること。
• ヒッチンの双ヘルメートィアン計量に関する研究を、新しい幾何的枠組みを用いて、すべての滑らかなポアソンファノ多様体へと拡張すること。
• 一般化されたケーラー幾何と非可換代数幾何の間の潜在的関係、特に $ζ$-代数およびねじれられた同次座標環を通じての関係を探索すること。

提案手法

• 標準的な接続の概念を拡張し、接ベクトル束および余接ベクトル束の両方向への微分を可能にする、ベクトル束上の一般化接続を導入すること。
• 一般化された計量上に標準的な一般化接続 $D$ を定義し、$(\mathcal{J}, G)$ が一般化されたケーラーであるための必要十分条件として $D\mathcal{J} = 0$ が成り立つことを示し、リーマン・チェビシェフ条件に類似した特徴づけを与えること。
• 一般化複素構造および一般化ケーラー構造の背後にある幾何的背景を、コーアント代数ダルと $U(1)$ ゲーブルに接続構造を用いて構築すること。
• 特に二つの一般化複素構造の一致部分集合に注目し、ポアソン多様体上の brane の配置を通じて一般化ケーラー構造を構成すること。
• 正則ベクトル場 $X$ が $L_X I_t = QF_t$ を満たすという条件を満たすとき、共通の複素部分多様体 $C$ 上で $L_0, L_1$ のラインバンドルが関連し、$C$ 上に自己同型 $\varphi$ を誘導すること。
• 誘導されたデータ $(C, \mathcal{L}_0, \mathcal{L}_1)$ を用いて、ヴァン・デン・ベルクのねじれられた同次座標環の構成法を適用し、テンソル積および $\varphi$ による引き戻しを用いて射を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ポアソン多様体に対して、それらの基礎となる複素構造が正則同値でない場合に、非正則的な性質を持つ新たな同値関係を定義できるか？
• RQ2 ポアソン多様体上の brane の配置と一般化されたケーラー構造との間の明確な関係は何か？
• RQ3 正則ポアソン多様体に正のポアソンラインバンドルを備えたコンパクト多様体に対して、一般化されたケーラー構造をどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 一般化された正則セクションが、非可換幾何の構成における射空間にどのように寄与するか？
• RQ5 標準的な一般化接続 $D$ は、一般化されたケーラー幾何におけるリーマン・チェビシェフ接続の自然な一般化として機能するか？

主な発見

• 正則ポアソン多様体間の新たな同値関係が定義され、それが非正則的性質を持つものであり、非同値な複素構造を持つ多様体間の非自明な同型を許容する。
• 本稿では、すべての滑らかなポアソンファノ多様体、およびより一般に正のポアソンラインバンドルを備える滑らかなポアソン多様体に対して、一般化されたケーラー構造の明示的族を構成する。
• 標準的な一般化接続 $D$ は、$(\mathcal{J}, G)$ が一般化されたケーラーであるための必要十分条件として $D\mathcal{J} = 0$ を満たし、ケーラー幾何におけるリーマン・チェビシェフ条件に類似した特徴づけを与える。
• 二つの一般化複素構造 $I_+$ と $I_-$ の一致部分集合は、反 canonical 除援であり、滑らかであれば、二つの異なる複素多様体 $X_\pm$ に埋め込まれた楕円曲線 $C$ であることが示された。
• $X_\pm$ 上のラインバンドル $L_0$ と $L_1$ は、$C$ 上で正則ラインバンドル $\mathcal{L}_0, \mathcal{L}_1$ に制限され、それらは自己同型 $\varphi$ によって関連づけられ、ヴァン・デン・ベルクの方法により $\mathbb{Z}$-次数代数が構成可能である。
• この構成により、標準的なねじれられた同次座標環は、一般化された正則セクションを全体の多様体上で含まない限り、完全な非可換変形（例えばスクライアニン代数）を捉えきれないことが判明した。$\mathbb{C}P^2$ において $\mathcal{O}(3)$ はこのようなセクションの空間が1次元であるため、その例が得られる。