[論文レビュー] Brauer algebras of Type $C$ are Cellularly Stratified Algebras

C. Bowman|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、図式的生成子と層上の双線形形式を用いて、ハイパーオクタヘドラル群の繰り返しインflーションとして、タイプ$C_n$のブローバー代数がセルフストラティファイドであることを示す。主な貢献は、標準的モジュールの完全なインデックス付け、分解数の公式、および準ヒーレルド条件の特徴付けである：代数は、体の特性が$p$のとき、かつただそのとき、$ \delta \neq 0$および$p > n$である。この枠組みにより、ハイパーオクタヘドラル群の分解行列が、ブローバー代数の分解行列の対角線上に現れる。

ABSTRACT

In a recent paper Cohen, Liu and Yu introduce the Type $C$ Brauer algebra. We show that this algebra is an iterated inflation of hyperoctahedral groups, and that it is cellularly stratified. This gives an indexing set of the standard modules, results on decomposition numbers, and the conditions under which the algebra is quasi-hereditary.

研究の動機と目的

• タイプ$C_n$のブローバー代数をセルフストラティファイド代数として確立すること。
• この代数の標準的モジュールの完全なインデックスセットを提供すること。
• ハイパーオクタヘドラル群のそれらの分解数を用いて、代数の分解数を導出すること。
• 代数が準ヒーレルド的である条件を特定すること。
• セルフストラティファイド代数の理論をタイプ$C$のブローバー代数の文脈に拡張すること。

提案手法

• 代数は、関係を満たす図式的生成子$r_i$と$e_i$を用いて、ハイパーオクタヘドラル群$H_{n-2k}$の繰り返しインフレーションとして構成される。
• 乗法的構造は、$\varphi: V(n,k) \times V'(n,k) \to H_{n-2k}$という双線形形式により定義され、$f$と$g$の弧が接続する場合$\varphi(f,g) = \delta^m \sigma$、それ以外は$0$となる。
• 写像$\psi: B(C_n,R,\delta) \to V(n,k) \otimes V'(n,k) \otimes kH_{n-2k}$が定義され、図を弧の図式と群元のテンソル積に写す。
• 代数上の対合は、$e \otimes f \otimes \pi \mapsto f \otimes e \otimes \pi^{-1}$に対応し、セルフ構造を保存する。
• アイドルポテンシャルおよび整合性条件のチェックにより、層がセルフストラティファイド代数の条件を満たすことが検証される。
• ハートマンらのセルフストラティファイド代数の理論が適用され、標準的モジュールおよび分解数に関する結果が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ$C_n$のブローバー代数はセルフストラティファイドであるか。もしそうならば、繰り返しインフレーションを用いてどのように証明できるか。
• RQ2 タイプ$C$のブローバー代数の標準的モジュールのインデックスセットは何か。
• RQ3 タイプ$C$のブローバー代数の分解数は、ハイパーオクタヘドラル群のそれらとどのように関係しているか。
• RQ4 タイプ$C$のブローバー代数が準ヒーレルド的である条件は何か。
• RQ5 層上の双線形形式$\varphi$は、代数の乗法的構造をどのように規定するか。

主な発見

• 代数$B(C_n,R,\delta)$の標準的モジュールは、$k \leq n/2$および$\Delta(\mu)$が$H_{n-2k}$の標準的モジュールであるとき、$\Delta(\mu,k) = V(n,k) \otimes v_k \otimes \Delta(\mu)$でインデックス付けされる。
• 分解数は$[\Delta(\mu,k):D(\lambda,k)] = [\Delta(\mu):D(\lambda)]$を満たし、$H_{n-2k}$の分解行列がブローバー代数の分解行列の対角線上に現れる。
• 体$R$の特性が$p$のとき、代数は、$ \delta \neq 0$および$p > n$である場合に限り、準ヒーレルド的である。
• 双線形形式$\varphi(f,g)$は、$f$と$g$の弧の図式が共通の頂点を持つ場合にのみ非ゼロであり、$m$を閉ループの数、$\sigma$をスルーファイアの置換とするとき、$\delta^m \sigma$で与えられる。
• 代数上の対合は、弧の図式を反転させ、群元を逆数にすることに対応し、セルフ構造を保存する。
• 繰り返しインフレーション構成により、すべてのセル理想が正しく持ち上がられ、代数全体がハイパーオクタヘドラル群の層からのセルフストラティファイド構造をそのまま受け継ぐ。