[論文レビュー] Breaking Generator Symmetry

George Katsirelos, Nina Narodytska+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、制約充足問題における対称性の破壊の計算複雑性を調査し、行列モデルにおける行および列の対称性に焦点を当てる。生成子の対称性を破壊することは tractable であるが、行と列の両方にレキソグラフィック順序を用いてすべての対称的値を pruning することは NP 困難であることが証明され、CSP のグローバル制約伝搬における長年の未解決課題が解決された。

ABSTRACT

Dealing with large numbers of symmetries is often problematic. One solution is to focus on just symmetries that generate the symmetry group. Whilst there are special cases where breaking just the symmetries in a generating set is complete, there are also cases where no irredundant generating set eliminates all symmetry. However, focusing on just generators improves tractability. We prove that it is polynomial in the size of the generating set to eliminate all symmetric solutions, but NP-hard to prune all symmetric values. Our proof considers row and column symmetry, a common type of symmetry in matrix models where breaking just generator symmetries is very effective. We show that propagating a conjunction of lexicographical ordering constraints on the rows and columns of a matrix of decision variables is NP-hard.

研究の動機と目的

• 制約充足問題における生成子の対称性のみを破壊する場合とすべての対称性を破壊する場合の完全性と tractability を分析すること。
• 生成子の対称性を破壊するだけでは、実際の応用においてすべての対称的解を排除できるかどうかを調査すること。
• 生成子の対称性を破壊した後にすべての対称的値を pruning する計算複雑性を特定すること。
• 行と列の両方にレキソグラフィック順序を強制する「二重レキソグラフィック順序」の制約が tractable かどうかという未解決問題を解明すること。
• 行列モデルにおける tractable な対称性の破壊と intractable な値の pruning の理論的境界を確立すること。

提案手法

• CSP における一般的な対称性である行列モデルにおける行および列の対称性に焦点を当てる。
• 1-in-3 SAT からの還元を用いて、レキソグラフィック順序制約が論理的制約を符号化する行列モデルを構築する。
• 3 種類のガジェットを用いる：タイプ 1 は変数を、タイプ 2 は節を、ヘッダーはコンポーネントを分離し干渉を防ぐ。
• 行と列の両方に同時にレキソグラフィック順序を強制する DoubleLex 制約を構築する。
• DoubleLex 制約の解が存在するための必要十分条件が、元の 1-in-3 SAT 公式が充足可能であることであることを示す。
• 1-in-3 SAT からの多項式時間還元を用いて、DoubleLex 制約におけるドメイン整合性を強制することが NP 困難であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子の対称性のみを破壊することは、すべてのケースですべての対称的解を排除するのに十分か？
• RQ2 生成子の対称性を破壊する制約を提示するプロセスは、すべての対称性を破壊するのと比較して tractable か？
• RQ3 生成子の対称性を破壊した後にすべての対称的値を pruning することは、計算的に tractable か？
• RQ4 行列モデルの行と列の両方にレキソグラフィック順序制約の集合を強制することは tractable か？
• RQ5 DoubleLex 制約を用いて 1-in-3 SAT をモデル化できるか？ その計算複雑性はいかほどか？

主な発見

• 生成子の対称性を破壊することは多項式時間で tractable であり、対称性削減の効率的な手法である。
• 生成子の対称性のみを破壊しても、完全な対称性破壊集合が存在するにもかかわらず、すべての対称的解を排除できない問題が存在する。
• 生成子の対称性を破壊した後にすべての対称的値を pruning することは、対称性破壊制約自体が tractable であっても NP 困難である。
• DoubleLex 制約（行と列の両方にレキソグラフィック順序を強制）におけるドメイン整合性を強制することは NP 困難である。
• タイプ 1 およびタイプ 2 のガジェットを用いた行列モデルの構築により、解が存在するための必要十分条件が、元の 1-in-3 SAT 公式が充足可能であることであることが示された。
• Frisch 他 (2002) が提起した、行列の両次元におけるレキソグラフィック順序のグローバル制約の複雑性に関する未解決問題が解決された。