[論文レビュー] Breaking the $2^n$ barrier for 5-coloring and 6-coloring

Or Zamir|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 27被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、k > 4 の場合に 2^n の時間的バrierを破る、5色塗り分けおよび6色塗り分けのための最初の O((2−ε)^n) アルゴリズムを提示する。主な革新点は、定数の割合 α が Δ 以下の次数を持つ頂点を含む (α,Δ)-有界グラフの一般化された彩色数の計算であり、新規の部分集合除去補題と再帰的収縮を用いて達成され、これらのケースにおける指数的時間未満の解法を可能にし、リスト彩色へと拡張可能である。

ABSTRACT

The coloring problem (i.e., computing the chromatic number of a graph) can be solved in O^*(2ⁿ) time, as shown by Björklund, Husfeldt and Koivisto in 2009. For k = 3,4, better algorithms are known for the k-coloring problem. 3-coloring can be solved in O(1.33ⁿ) time (Beigel and Eppstein, 2005) and 4-coloring can be solved in O(1.73ⁿ) time (Fomin, Gaspers and Saurabh, 2007). Surprisingly, for k > 4 no improvements over the general O^*(2ⁿ) are known. We show that both 5-coloring and 6-coloring can also be solved in O((2-ε) ⁿ) time for some ε > 0. As a crucial step, we obtain an exponential improvement for computing the chromatic number of a very large family of graphs. In particular, for any constants Δ,α > 0, the chromatic number of graphs with at least α⋅ n vertices of degree at most Δ can be computed in O((2-ε) ⁿ) time, for some ε = ε_{Δ,α} > 0. This statement generalizes previous results for bounded-degree graphs (Björklund, Husfeldt, Kaski, and Koivisto, 2010) and graphs with bounded average degree (Golovnev, Kulikov and Mihajlin, 2016). We generalize the aforementioned statement to List Coloring, for which no previous improvements are known even for the case of bounded-degree graphs.

研究の動機と目的

• k > 4 の場合に 2^n 時間の壁を打ち破ることを目的とし、それ以前には一般の O*(2^n) アルゴリズムを超える改善が得られていなかった。
• α·n 個以上の頂点が次数 ≤ Δ を満たすとされる (α,Δ)-有界グラフの彩色数を指数的時間未満で計算するアルゴリズムの開発。
• 次数が有界なグラフですら、以前の改善が得られていなかったリスト彩色問題へとこれらの技術を拡張すること。
• すべての k-彩色問題に対して O*((2−ε_k)^n) アルゴリズムを可能にする理論的基盤を確立すること。

提案手法

• k-彩色可能性を正の確率で保ちながら、低次数の頂点集合を特定・収縮するための新しい部分集合除去補題を導入する。
• 再帰的収縮：グラフが k-彩色可能であれば、ランダムに頂点の部分集合を削除し、残りのグラフが高確率で k-彩色可能であるようにする。
• 小規模なグラフに対する基本ケースと、収縮されたグラフに対する再帰呼び出しを組み合わせたハイブリッドアルゴリズムを採用し、フラグメカニズムを用いて戦略を切り替える。
• (α,Δ)-有界グラフにこの手法を適用し、任意の Δ,α > 0 に対して、彩色数が O*((2−ε_Δ,α)^n) 時間で計算可能であることを証明する。
• 各頂点が許可色のリストを持つリスト彩色問題へと拡張するため、収縮と再帰の枠組みを色リストに対応させるように適応する。
• 確率的解析と帰納法を用いて、再帰的アルゴリズムの成功確率と期待実行時間を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5色塗り分けは、ある ε > 0 に対して O*((2−ε)^n) 時間で解けるか？ 2^n の壁を破れるか？
• RQ2 同様の改善は6色塗り分けおよびより一般に k > 4 のすべての k-彩色問題に対しても達成可能か？
• RQ3 (α,Δ)-有界グラフの彩色数は指数的時間未満で計算可能か？ その条件は何か？
• RQ4 これらの技術は、各頂点が許可色のリストを持つリスト彩色問題へと拡張可能か？
• RQ5 k-彩色問題に対して、自明な O*(k^n) の境界を超える O*((2−ε)^n) アルゴリズムを可能にする一般化された枠組みを設計可能か？

主な発見

• 任意の (α,Δ)-有界グラフの彩色数は、ある ε_Δ,α > 0 を用いて O*((2−ε_Δ,α)^n) 時間で計算可能であり、次数が有界または平均次数が有界であるグラフに対する既存の結果を一般化する。
• 5色塗り分けおよび6色塗り分けのための最初の O*((2−ε)^n) アルゴリズムが提示され、k > 4 に対して指数的時間未満の実行が達成された。
• アルゴリズムの成功確率は (2−ε)^-(n+1) 以上であり、期待実行時間は ε₁ < ε のとき O*(( (2−ε₁)/(2−ε) )^n) である。
• O(n·(2−ε)^n) 回の繰り返しにより、成功確率を高めることができ、総期待実行時間は O*(n·(2−ε₁)^n) である。
• この手法はリスト彩色問題へと拡張可能であり、(α,Δ)-有界設定におけるこの問題に対する最初の指数的時間未満のアルゴリズムを提供する。
• 部分集合除去補題は、k-彩色可能性を正の確率で保ちながら再帰的収縮戦略を実現する上で、主要な技術的貢献である。