[論文レビュー] Breakup of SUSY Quantum Mechanics in the Limit-Circle Region of the Reflective Kratzer Oscillator

Gregory Natanson|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 71被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、反射的クライツァー振動子の極限円（LC）領域における標準的スーパーシンメトリー量子力学（SUSY QM）の破綻を、角運動量項を伴うポテンシャルに対するダーブウ変換（DT）に注目して調査している。フロベニウス解から導かれるティッチマーシュ＝ウェイル＝ファルトン（TWF）関数を用いて、LC領域におけるSUSY同伴ポテンシャルが従来の等スペクトル性を満たさないことを示す明示的変換則を導出し、径方向およびc-Gauss基準ポテンシャルに対して閉形式で表された離散的エネルギー準位を持つ非等スペクトル同伴が存在することを示している。

ABSTRACT

The paper studies violation of conventional rules of SUSY quantum mechanics for the centrifugal potential V(r) within the limit-circle (LC) range. A special attention is given to transformation properties of the Titchmarsh-Weyl m-function under Darboux deformations of the reflective Kratzer oscillator: centrifugal Kepler-Coulomb (KC) potential plus a Taylor series in r. Since our analysis is based on Fulton's representation of a regular-at-infinity solution [Math. Nachr. 281, 1418 (2008)] as a superposition of two Frobenius solutions at the origin, we refer to the appropriate expressions as the Titchmarsh-Weyl-Fulton (TWF) functions. Explicit transformation relations are derived for partner TWF functions associated with SUSY pairs of centrifugal potentials. It is shown that these relations have a completely different form for Darboux transformations (DTs) keeping the potential within the LC range. As an illustration, we use regular nodeless Frobenius solutions to construct SUSY partners of the radial r- and c-Gauss-reference (GRef) potentials solvable via hypergeometric and confluent hypergeometric functions, respectively. We explicitly demonstrate existence of non-isospectral partners of both radial potentials in the LC region and obtain their discrete energy spectra using the derived closed-form expressions for the TWF functions. The general transformation relations for the TWF function have been verified taking advantage of form-invariance of the radial GRef potentials under double-step DTs with the so-called 'basic' seed solutions (SSs). Similarly we directly ratify that TWF functions for three shape-invariant reflective potentials on the half-line -- hyperbolic Poschl-Teller (h-PT), Eckart/Manning-Rosen (E/MR), and centrifugal KC potentials - do retain their form under basic DTs.

研究の動機と目的

• 中心力ポテンシャルの極限円（LC）領域における標準的SUSY QMルールの不成立を分析すること。
• 極限円領域におけるダーブウ変換（DT）の下でティッチマーシュ＝ウェイル＝ファルトン（TWF）関数がどのように変換されるかの変換則を導出すること。
• 極限円領域における径方向およびc-Gauss基準（GRef）ポテンシャルの非等スペクトルSUSY同伴を構成すること。
• 基本的シード解を用いた二段階ダーブウ変換における形式不変性を確認することで、一般TWF関数変換則の妥当性を検証すること。
• 形状不変な反射的ポテンシャル（h-PT、E/MR、KC）が基本的DTの下でもTWF関数の形を保つことを確認すること。

提案手法

• 無限遠で正則な解を原点におけるフロベニウス解の重ね合わせとして表すフォルトンの表現を用い、ティッチマーシュ＝ウェイル＝ファルトン（TWF）関数を定義する。
• 極限円（LC）領域に位置する角運動量項付きポテンシャルに対してダーブウ変換（DTs）を適用し、rに関するテイラー級数展開を持つ反射的クライツァー振動子に焦点を当てる。
• SUSY同伴ポテンシャルのTWF関数間の明示的変換関係を導出し、LC領域において形式的差異が生じることを示す。
• 超幾何関数および退化超幾何関数を用いて解ける径方向r-およびc-Gauss基準（GRef）ポテンシャルに対して、ノードのないフロベニウス解を用いてSUSY同伴を構成する。
• 「基本的」シード解を用いた二段階ダーブウ変換における形式不変性を確認することで、一般TWF関数変換則の妥当性を検証する。
• 三つの形状不変な反射的ポテンシャル（双曲的ポッッホル・テラー、エーカート／マンニング＝ローゼン、角運動量項付きケプラー＝クーロン）に対して、基本的DTの下でもTWF関数の形が保たれることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルが極限円（LC）領域にある場合、ティッチマーシュ＝ウェイル＝ファルトン（TWF）関数はダーブウ変換（DT）の下でどのように変化するか？
• RQ2 角運動量項付きポテンシャルがLC領域にある場合、従来のSUSY QMルールはどの程度破綻するか？
• RQ3 極限円領域における径方向およびc-Gauss基準ポテンシャルに対して、非等スペクトルSUSY同伴を構成できるか？
• RQ4 形状不変な反射的ポテンシャルのTWF関数は、基本的ダーブウ変換の下でもその形を保つか？
• RQ5 LC領域における非等スペクトルSUSY同伴の離散的エネルギー準位スペクトルはどのようなものか？また、閉形式で計算可能か？

主な発見

• LC領域におけるDTの下でのTWF関数の明示的変換則は、標準的SUSY QMとは根本的に異なり、従来の等スペクトル性の破綻を示している。
• ノードのないフロベニウス解を用いて、LC領域における径方向r-およびc-Gauss基準（GRef）ポテンシャルの非等スペクトルSUSY同伴が明示的に構成された。
• TWF関数形式を用いることで、これらの非等スペクトル同伴の離散的エネルギー準位スペクトルの閉形式表現が導出された。
• 「基本的」シード解を用いた二段階ダーブウ変換における形式不変性を確認することで、一般TWF関数変換則の妥当性が検証された。
• 三つの形状不変な反射的ポテンシャル（双曲的ポッッホル・テラー、エーカート／マンニング＝ローゼン、角運動量項付きケプラー＝クーロン）のTWF関数は、基本的DTの下でもその関数的形を保ち、不変性が確認された。
• 本分析により、SUSY QMのルールが極限円領域で破綻していることが確認された。特に、解けるポテンシャルに対してもTWF関数の変換挙動が異常を示す。