[論文レビュー] Breather to the Yajima-Oikawa system

Junchao Chen, Yong Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、KP階層還元と双線形法を用いて、1次元および2次元ヤジマ＝オイカワ（YO）系のブレータ解を構築する。複素共役変換 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $ を用いて2種類のブレータを特定し、ホモクライン軌道およびダークソリトンを特別な場合として含む。長周期波近似により、リーマン型およびリーマン指数型解—ラムプ、ラインレアジョウ波、および混合構造を含む—が導出される。

ABSTRACT

The Yajima-Oikawa (YO) system describes the resonant interaction between long and short waves under certain condition. In this paper, through the KP hierarchy reduction, we construct the breather solutions for the YO system in one- and two-dimensional cases. Similar to Akhmediev and Kuznetsov-Ma breather solutions (the wavenumber k_i->ik_i) for the nonlinear Schrodinger equation, is shown that the YO system have two kinds ofbreather solutions with the relations p_{2k-1}->ip_{2k-1}, p_{2k}->-ip_{2k}, q_{2k-1}->iq_{2k-1} and q_{2k}->-iq_{2k}, in which the homoclinic orbit and dark soliton solutions are two special cases respectively. Furthermore, taking the long wave limit, we derive the rational and rational and rational-exp solutions which contain lump, line rogue wave, soliton and their mixed cases. By considering the further reduction, such solutions can be reduced to one-dimensional YO system.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元ヤジマ＝オイカワ（YO）系のブレータ解を、高度な可積分系技法を用いて導出すること。
• 複素スペクトルパラメータ変換を介してYO系のブレータとアフメドエフ／クズネツォフ＝マ型の対応関係を確立すること。
• 長周期波近似による還元を検討し、リーマン型およびリーマン指数型解（ラムプおよびレアジョウ波構造を含む）を導出すること。
• 1次元および2次元YO系において、ラムプ－ソリトンおよびレアジョウ波－ソリトン状態を含む混合解の出現と進化を示すこと。

提案手法

• ヤジマ＝オイカワ系を双線形形式に変換するため、従属変数変換を用いたヒロタの双線形法を適用する。
• KP階層還元技術を用いて正確な解を生成し、特にブレータおよびリーマン型解に注目する。
• 複素スペクトルパラメータの置換 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $, $ q_{2k-1} \to i q_{2k-1}, q_{2k} \to -i q_{2k} $ を用いて、2つの異なるブレータ族を生成する。
• ブレータ解に対する長周期波近似分析を実施し、リーマン型およびリーマン指数型解（ラムプおよびラインレアジョウ波構造を含む）を導出する。
• 複素位相パラメータを有する $ f $, $ g $, および $ g^* $ 関数を用いて、1次元および2次元YO系の明示的グリーン行列式解を導出する。
• 数値可視化により解を検証し、ラムプ－レアジョウ波およびソリトン－レアジョウ波相互作用を含む混合状態を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤジマ＝オイカワ系の1次元および2次元ブレータ解は、KP階層還元を用いてどのように体系的に構築可能か？
• RQ2 2種類の異なるブレータを生成するスペクトル変換は何か？ また、それらはホモクライン軌道やダークソリトンといった既知の解とどのように関係するか？
• RQ3 ブレータ解の長周期波近似から、どのようなリーマン型およびリーマン指数型解が導かれるか？
• RQ4 ラムプ、レアジョウ波、ソリトンを組み合わせた混合解は、YO系でどのように出現し、どのように進化するか？
• RQ5 2次元YO系の解は1次元系に還元可能か？ その際、どのような構造的特徴が保存されるか？

主な発見

• 複素パラメータ変換 $ p_{2k-1} \to i p_{2k-1}, p_{2k} \to -i p_{2k} $, $ q_{2k-1} \to i q_{2k-1}, q_{2k} \to -i q_{2k} $ を用いて、YO系に2種類の異なるブレータ解が導出され、アフメドエフ型およびクズネツォフ＝マ型を一般化する。
• ホモクライン軌道およびダークソリトン解は、特定のパラメータ極限下で導出されたブレータ解の特別な場合であることが示された。
• ブレータ解の長周期波近似により、リーマン型およびリーマン指数型解が得られ、ラムプ、ラインレアジョウ波、およびソリトン構造を含む。
• 2次元YO系において、1つのラムプ（またはレアジョウ波）と1つの一般ブレータ（またはソリトン）を組み合わせた混合解が明示的に構築され、可視化された。
• 2次元解をさらに還元することで1次元YO系が回復され、レアジョウ波－ソリトンおよびラムプ－レアジョウ波混合状態といった主要な解型が保存された。
• 数値例（図21～25）により、混合状態の存在とダイナミクスが確認され、特定のパrameterセットを用いた1次元YO系におけるレアジョウ波－ソリトンペアの存在が裏付けられた。