[論文レビュー] Bridge Number and the Curve Complex

Jesse Johnson|ArXiv.org|Mar 3, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、 genus 2 の曲面の曲線複体における距離とブリッジ数を関連させることで、任意に高いブリッジ数をもつ双曲的トンネル数 1 の絡み目が存在することを確立している。unknottingトンネルの複雑性測度 $ d(\tau) $ を用いて、$ d(\tau) > 5 $ である Knot は、非自明なトーラス上の 1-ブリッジ表示を持たないことが証明され、このようなトンネルは任意に大きな $ d(\tau) $ をもつことが可能である。これにより、高次のブリッジ数と非 1-ブリッジ表示をもつ双曲的絡み目が存在することが示された。

ABSTRACT

We show that there are hyperbolic tunnel-number one knots with arbitrarily high bridge number and that "most" tunnel-number one knots are not one-bridge with respect to an unknotted torus. The proof relies on a connection between bridge number and a certain distance in the curve complex of a genus-two surface.

研究の動機と目的

• 双曲的でトンネル数 1 の絡み目が任意に高いブリッジ数 $ b_0(K) $ をもつことの証明。
• 「多く」が、自明なトーラス上での 1-ブリッジでない、すなわち $ b_1(K) > 1 $ であるトンネル数 1 の絡み目であることを示すこと。
• 絡み目のブリッジ数と、その Heegaard 分解に関連する genus 2 の曲面の曲線複体との距離の間の関係を確立すること。
• 曲線複体距離 $ d(\tau) > 5 $ である絡み目は $ b_1(K) > 1 $ であることを、ハンドル体集合の幾何学的性質を用いて証明すること。
• 任意の $ N $ に対して、$ d(\tau) > N $ をもつトンネル数 1 の絡み目の明示的構成を行い、双曲的かつ高次のブリッジ数を保証すること。

提案手法

• unknottingトンネル $ \tau $ の双対となるメルイディアンディスクの境界と、絡み目補空間に関連するハンドル体集合 $ \mathbf{H_2} $ の間の、曲線複体 $ C(\Sigma) $ 内の距離として、複雑性不変量 $ d(\tau) $ を定義する。
• トンネルの同調的変形のもとで $ d(\tau) $ が不変であることを用いて、これが絡み目とトンネルの良い定義された位相不変量であることを保証する。
• 曲線複体幾何学の結果（$ \delta $-双曲性、擬凸性など）を応用し、距離に関する仮定が成り立たない場合に矛盾を導く。
• Lemma 22 を活用して、$ d(\partial D_1, \mathbf{H_2}) > N+1 $ を満たす非分離ディスク $ D_1 \subset H_1 $ を構成し、$ d(\tau) > N $ を保証する。
• Thompson の結果（トーラス的多様体は Heegaard 距離 $ \leq 2 $）を用いて、$ d(\tau) > 3 $ ならば絡み目補空間はトーラス的でないことが示され、したがって双曲的である（トーラス絡み目でない限り）。
• Morimoto の定理（接続和に関するもの）を組み合わせて、$ d(\tau_1), d(\tau_2) > 5 $ ならば、接続和のトンネル数は 3 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トンネル数 1 の絡み目は、2-球面に関して任意に高いブリッジ数をもつことができるか？
• RQ2 自明なトーラス上での 1-ブリッジでない双曲的トンネル数 1 の絡み目は存在するか？
• RQ3 genus 2 の曲面の曲線複体における距離と絡み目のブリッジ数の関係は何か？
• RQ4 曲線複体距離 $ d(\tau) $ を用いて $ b_1(K) > 1 $ を証明できるか？
• RQ5 高次の曲線複体距離とトンネル数 1 の絡み目の双曲的性質の関係は何か？

主な発見

• 任意の整数 $ N $ に対して、$ b_0(K) > N $ をみたす双曲的でトンネル数 1 の絡み目 $ K $ が存在する。
• $ d(\tau) > 5 $ ならば $ b_1(K) > 1 $ であり、これは絡み目が自明なトーラス上での 1-ブリッジでないことを意味する。
• 曲線複体距離 $ d(\tau) $ はブリッジ数の下界を与える：$ b_0(K) \geq d(\tau) $。
• $ d(\tau) > 3 $ である絡み目は、トーラス的補空間を持つため、トーラス絡み目でなければ双曲的である。
• このような絡み目の構成は一般的である：「多く」が高次の $ d(\tau) $ をもつため、『多く』のトンネル数 1 の絡み目は自明なトーラス上での 1-ブリッジでない。
• トンネル数 1 の絡み目で $ d(\tau) > 5 $ であるものの接続和はトンネル数 3 をもち、トンネル系の非最小性を確認する。