[論文レビュー] Bridgeland's stability and the positive cone of the moduli spaces of stable objects on an abelian surface

Kōta Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 55

ひとこと要約

本稿は、アーベル多様体上のブリッジランド安定性条件の空間から、代数的コホロロジー格子におけるムカイベクトルの直交補空間の正の錐への全射写像を確立する。安定性条件のチャンバ構造を精緻化することで、安定対象のモジュライ空間の双有理幾何とネロン・セベリ群の正の錐を結びつけ、正の錐が安定パラメータ空間からの自然な写像の像として、スケーリングを除いて実現されることを証明する。これにより、安定性条件を用いた正の錐の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We shall study the chamber structure of positive cone of the albanese fiber of the moduli spaces of stable objects on an abelian surfaces via the chamber structure of stability conditions.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上のブリッジランド半安定対象のモジュライ空間の双有理幾何を理解すること。
• モジュライ空間のネロン・セベリ群の正の錐を安定性条件のチャンバ構造に関連付けること。
• 安定パラメータ空間からムカイベクトルの直交補空間の正の錐への全射写像を構成すること。
• コンパクト化されたパラメータ空間を用いて、安定性条件と正の錐の対応を境界点まで拡張すること。

提案手法

• 拡張されたパラメータ空間 NS(X)ℝ × C(Āmp(X)ℝ) × ℝ≥0 から、正の錐 P⁺(v⊥)ℝ の閉包への写像 ξ(β, H, t) を定義する。
• ムカイベクトル v = (r, c₁, a) と H∗(X, ℤ)alg ⊗ ℝ 内の直交補空間 v⊥ を用いて、写像の像空間を定義する。
• モジュライ空間 K(β,ω)(v) のネロン・セベリ群における正の錐を特定するために、ベイユ＝フジキ形式を用いる。
• GL⁺(2, ℝ) の普遍被覆の作用を用いて、安定性条件の空間からパラメータ空間 NS(X)ℝ × Amp(X)ℝ への問題の簡約を行う。
• フーリエ＝ムカイ変換と自己同値変換を用いて、ムカイベクトルの正のランクとアーマンクラスを持つ場合に還元する。
• アーベル多様体上のホモロジー代数を用いて、等長写像 θv,β,ω における像を分析することで、写像 ξ の全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の安定性条件のチャンバ構造は、安定対象のモジュライ空間の正の錐とどのように関係するか？
• RQ2 モジュライ空間のネロン・セベリ群の正の錐は、安定パラメータを用いて幾何的に実現可能か？
• RQ3 安定性条件の空間から v⊥ の正の錐への写像の像は何か？
• RQ4 安定パラメータ空間に境界点を含めることで、正の錐の実現にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 写像 ξ: NS(X)ℝ × C(Āmp(X)ℝ) × ℝ≥0 → P⁺(v⊥)ℝ は ℝ>0 のスケーリングを除いて全射である。
• 正の錐 P⁺(v⊥)ℝ の閉包は、写像 ξ の像として実現され、これは古典的な安定性条件と正の錐の対応を拡張する。
• ⟨v²⟩ ≥ 6 を満たす原始的ムカイベクトル v に対して、モジュライ空間 K(β,ω)(v) は一般化されたクーマー多様体と変形同値な、非特異シンプレクティック多様体である。
• 等長写像 θv,β,ω: v⊥ ∩ H∗(X, ℤ)alg → NS(K(β,ω)(v)) は、ベイユ＝フジキ形式を保存する。これにより、アーベル多様体のコホモロジーとモジュライ空間のネロン・セベリ群が結びつけられる。
• 写像 ξ の全射性は、フーリエ＝ムカイ変換の使用とアーベル多様体上の曲線のピカール群の構造を含むホモロジー代数を用いて確立される。
• 証明は、アーベル多様体上の正の自己交わりを持つ曲線 C に対して、自然な写像 H₁(C, ℤ) → H₁(Y, ℤ) が全射であることを示すことに依存しており、これによりアーベル・ジャコビ写像の像がフルランクであることが保証される。