[論文レビュー] Bridging Classical and Quantum with SDP initialized warm-starts for QAOA

Reuben Tate, Majid Farhadi+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、低回路深度における性能向上を図るため、古典的線形計画法（SDP）緩和解をウォームスタート初期化として用いるQAOAの変種、QAOA-warmを提案する。低ランクのSDP解を用いてQAOAを初期化することで、標準QAOAに比べて顕著に高い近似比を達成し、深さp=1において最大80%の性能向上を実現。また、ランク3の初期化では理論的保証として少なくとも0.66κの近似比を達成することが示された。

ABSTRACT

We study the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) in the context of the Max-Cut problem. Near-term (noisy) quantum devices are only able to (accurately) execute QAOA at low circuit depths while QAOA requires a relatively high circuit-depth in order to "see" the whole graph. We introduce a classical pre-processing step that initializes QAOA with a biased superposition of all possible cuts in the graph, referred to as a warm-start. In particular, our initialization informs QAOA by a solution to a low-rank semidefinite programming relaxation of the Max-Cut problem. Our experimental results show that this variant of QAOA, called QAOA-Warm, is able to outperform standard QAOA on lower circuit depths with less training time (in the optimization stage for QAOA's variational parameters). We provide experimental evidence as well as theoretical intuition on performance of the proposed framework.

研究の動機と目的

• ノイズやエンタングルメント生成の制限による、標準QAOAの低回路深度における性能格差を是正する。
• 近位量子ハードウェアにおけるMax-Cut問題に対するQAOAの解の品質と学習効率を向上させる。
• 古典的前処理としての低ランクSDP緩和が、量子バリエーショナル最適化をどのように向上させるかを検討する。
• 特にp=0およびp=1における低深度でのQAOA-warmの近似比に関する理論的保証を提供する。
• ウォームスタートがQAOAのエネルギー・ランドスケープと最適化ダイナミクスに与える影響を調査する。

提案手法

• Max-Cut問題のBurer-Monteiro低ランクSDP緩和を用い、古典的低ランク解（ランク2または3）をウォームスタート状態として計算する。
• SDP解を分離可能な量子状態に写像し、標準的な|+⟩^⊗n初期化に代わるQAOAの初期状態とする。
• ウォームスタートされた状態に標準QAOAのミキサー（横磁場ハミルトニアン）を適用し、古典的最適化により変分パラメータγとβを最適化する。
• 1,264件のMax-Cutインスタンス（最大12ノード）を対象に数値シミュレーションを実施し、深さp=1,2,4,8におけるQAOA-warmと標準QAOAを比較する。
• QAOA-warmのエネルギー・ランドスケープとパラメータ感度を分析し、最適化を支援する可能性のあるリッジ構造を示す。
• 理論的境界を証明：ランク2初期化ではp=0で少なくとも0.75κ、ランク3初期化ではp=0で少なくとも0.66κの近似比を達成する。ここでκはSDPの近似要因である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的SDP解が、低回路深度におけるQAOA性能向上のための有効なウォームスタートとして機能できるか。
• RQ2 QAOA回路自体が、初期ウォームスタート状態よりも古典的サンプリングをどれほど上回るか。
• RQ3 QAOA-warmのエネルギー・ランドスケープは標準QAOAとどのように異なり、最適化をより効率的に行えるか。
• RQ4 特にp=0におけるQAOA-warmに、どの程度の理論的近似保証を設定できるか。
• RQ5 QAOA-warmはノイズに対して頑健で、初期パラメータに敏感か。収束速度と解の品質において、標準QAOAと比較してどう異なるか。

主な発見

• p=1では96.8%のインスタンスでQAOA-warmが標準QAOAを上回り、p=2では90.0%、p=4では72.8%、p=8では53.6%のインスタンスで優位であった。
• p=1では、74件のインスタンスでウォームスタート単体に比べて少なくとも50%の近似比向上を達成し、22件では少なくとも80%の向上を達成した。
• ランク3初期化では、p=0で少なくとも0.66κの近似比が保証される。ここでκはSDP解の近似要因である。
• p=1におけるQAOA-warmのエネルギー・ランドスケープはリッジ構造を示し、変分パラメータの最適化をより効率的に行える可能性がある。
• 高品質な解に近い初期状態から出発するため、QAOA-warmは初期(β, γ)値への感受性を低減し、望ましい状況では最適化をコストハミルトニアンからある程度分離できる。
• 低深度での改善は見られるが、高深度では最適解への収束に失敗しており、さらなる修正なしではスケーラビリティに限界があることが示唆された。