[論文レビュー] Broadcast Dimension of Graphs

Jesse Geneson, Eunjeong Yi|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、送信電力が異なる送信機を用いてネットワーク解像度をモデル化する、メトリック次元の新しい変種であるブロードキャスト次元を導入する。基本的な境界を確立し、n頂点グラフに対してブロードキャスト次元がΩ(log n)であることを証明し、メトリック次元や隣接次元よりも著しく小さい場合があることを示し、グラフの耐障害性やアルゴリズム的複雑性への応用を提示する。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of broadcast dimension, a variant of metric dimension. Let $G$ be a graph with vertex set $V(G)$, and let $d(u,w)$ denote the length of a $u-w$ geodesic in $G$. For $k \ge 1$, let $d_k(x,y)=\min \{d(x,y), k+1\}$. A function $f: V(G) ightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ is called a resolving broadcast of $G$ if, for any distinct $x,y \in V(G)$, there exists a vertex $z \in V(G)$ such that $f(z)=i>0$ and $d_{i}(x,z) eq d_{i}(y,z)$. The broadcast dimension, $bdim(G)$, of $G$ is the minimum of $c_f(G)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$ over all resolving broadcasts of $G$, where $c_f(G)$ can be viewed as the total cost of the transmitters (of various strength) used in resolving the entire network described by the graph $G$. Note that $bdim(G)$ reduces to $adim(G)$ (the adjacency dimension of $G$, introduced by Jannesari and Omoomi in 2012) if the codomain of resolving broadcasts is restricted to $\{0,1\}$. We determine its value for cycles, paths, and other families of graphs. We prove that $bdim(G) = Ω(\log{n})$ for all graphs $G$ of order $n$, and that the result is sharp up to a constant factor. We show that $\frac{adim(G)}{bdim(G)}$ and $\frac{bdim(G)}{dim(G)}$ can both be arbitrarily large, where $dim(G)$ denotes the metric dimension of $G$. We also examine the effect of vertex deletion on the adjacency dimension and the broadcast dimension of graphs.

研究の動機と目的

• 送信電力が異なる送信機を用いたネットワーク解像度をモデル化する新しいグラフパラメータとしてのブロードキャスト次元を形式化し、その性質を調査すること。
• パス、サイクル、木といった基本的なグラフ族のブロードキャスト次元を特定すること。
• ブロードキャスト次元、隣接次元、標準的メトリック次元の関係を分析すること。
• 頂点の削除がブロードキャスト次元および隣接次元に与える影響を調査すること。
• アルゴリズム的複雑性を探索し、多項式時間アルゴリズムの存在や最小解像ブロードキャストの列挙を含めること。

提案手法

• 各頂点vにおける送信電力を表すf(v) ∈ ℤ⁺ ∪ {0}である、解像関数f: V(G) → ℤ⁺ ∪ {0}を定義する。
• 限界範囲の送信機をモデル化するため、dₖ(x,y) = min{d(x,y), k+1}を導入する。
• ブロードキャスト次元bdim(G)を、すべての解像ブロードキャストfにおける合計コスト∑f(v)の最小値として定義する。
• 組合せ論的および極値的グラフ理論を用いて、bdim(G)の下界および上界を導出する。
• 構造的性質（例：パス、サイクル、木）を分析し、bdim(G)の正確な値を計算する。
• すべての最小コスト解像ブロードキャストを2^O(n)時間で列挙するためのアルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフGがdim(G) = bdim(G)を満たすか？
• RQ2 どのグラフGがbdim(G) = adim(G)を満たすか？
• RQ3 bdim(G) = k かつ adim(G) = 2^Ω(k) となるようなグラフが存在するか？
• RQ4 すべての木Tについて、bdim(T)およびadim(T)の値は何か？
• RQ5 任意のグラフGに対してbdim(G)を計算する多項式時間アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• すべてのn次頂点を持つグラフについて、ブロードキャスト次元はΩ(log n)で下界が保証され、定数倍の意味でタイトである。
• 比率bdim(G)/dim(G)およびadim(G)/bdim(G)の両方が、任意に大きくとれるため、ブロードキャスト次元はメトリック次元や隣接次元よりも著しく小さい場合があることが示された。
• サイクルおよびパスについて、ブロードキャスト次元の正確な値が特定された：bdim(C_n) = Θ(log n)，bdim(P_n) = Θ(log n)。
• 頂点の削除によって隣接次元は1増加するが、ブロードキャスト次元は1より大きく増加するようなグラフが存在し、耐障害性の性質が異なることが示された。
• すべての最小解像ブロードキャストを2^O(n)時間で列挙するアルゴリズムが存在し、特定のグラフ族における指数的下界のため、これは最悪ケースで最適である。
• グラフのブロードキャスト次元は、その隣接次元よりも厳密に小さく、その差は任意に大きくとれる。