[論文レビュー] Broadcasts in Graphs: Diametrical Trees

L. Gemmrich, Christina M. Mynhardt|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、上部ブロードキャスト支配数がグラフの直径に等しい木（直径的木）を、キャタピラー木の完全な構造的特徴づけによって特徴づけている。この論文は、キャタピラー木が直径的であるための必要十分条件を示し、ブロードキャスト支配理論における未解決問題を解決した。

ABSTRACT

A dominating broadcast on a graph G with vertex set V is a function f that maps V to {0,1,...,diam(G)} such that f(v) does not exceed e(v) (the eccentricity of v) for all vertices v, and each vertex u is at distance at most f(v) from a vertex v with positive f(v). The upper broadcast domination number of G is Γ_{b}(G), which equals the maximum of the sum of the function values f(v), the maximum being taken over all minimal dominating broadcasts f on G. As shown by Erwin in [D. Erwin, Cost domination in graphs, Doctoral dissertation, Western Michigan University, 2001], Γ_{b}(G) is bounded below by diam(G) for any graph G. We investigate trees whose upper broadcast domination number equal their diameter and, among more general results, characterize caterpillars with this property.

研究の動機と目的

• 上部ブロードキャスト支配数が直径に等しい木を特徴づけること。これは先行研究で未解決のまま残された問題である。
• 最小の支配的ブロードキャストが直径に等しい最大コストを達成できる構造的制約を調査すること。
• キーパートとしてのキャタピラー木の完全な特徴づけを提供すること。
• 木の上部ブロードキャスト支配数が直径に対して最小化されるための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 関数 f: V → {0,1,…,diam(G)} を用いてブロードキャスト支配を定義し、f(v) ≤ eccentricity(v) を満たすようにし、すべての頂点が f(v) ≥ 1 を満たすある頂点 v から距離 f(v) 以内に含まれることを保証する。
• 最小の支配的ブロードキャストのコストの最大値として、上部ブロードキャスト支配数 Γb(G) を定義する。
• 非直径的木の構造的解析にための補題を用い、特に直径的経路から内部で素性をもつ長さ ≥3 の経路を持つ木を分析する。
• 帰納法と部分木分解を用い、辺の削除後に得られる部分木を分離することで、ブロードキャストコストの上限を求める。
• 過剰支配と最小ブロードキャスト構造の解析に、私的近傍（PNf(v)）と境界近傍（PBf(v)）を活用する。
• ブロードキャスト頂点とその私的境界のケース別解析を通し、矛盾を用いてコストが直径を超えることはできないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの木が Γb(T) = diam(T) を満たし、それらがどのような構造的性質を持つのか？
• RQ2 キャタピラーの中心経路とその葉の付加条件が、上部ブロードキャスト支配数が直径に等しくなるために満たすべき条件は何か？
• RQ3 直径的キャタピラー木の特徴づけを、直径的経路から内部で素性をもつ長さ2の経路を持つ一般の木に拡張できるか？
• RQ4 上部ブロードキャスト支配数は、Γ(T) や α(T) といった他の支配パラメータとどのように関係しているか？
• RQ5 上部ブロードキャスト支配数は、等長部分グラフに関して単調的か？

主な発見

• 直径的経路 P = v₀, v₁, ..., v_d を持つキャタピラー木 T は、内部頂点 v_i (1 ≤ i ≤ d−1) がそれぞれ2個以下の葉を持つとき、かつそのときに限り直径的である。
• 任意の i ∈ {1, ..., d−2} に対して、v_i と v_{i+1} の最小次数はちょうど2でなければならない。
• 2つの頂点 v_i と v_j (i < j) がそれぞれ2個以上の葉を持つ場合、i < k < j を満たす頂点 v_k が存在し、deg(v_k) = deg(v_{k+1}) = 2 となる。
• 直径的経路から内部で素性をもつ長さ3以上の経路を含む木は、直径的にはならない。
• 上部ブロードキャスト支配数 Γb(T) は、キャタピラー特徴づけを満たすすべての木において直径以上に上限を持つ。
• 証明により、このような直径的キャタピラーにおける任意の最小支配的ブロードキャストのコストは d を超えることはなく、等号が成立するのは提示された構造的条件を満たす場合に限る。