[論文レビュー] Bronsted-Rockafellar property and maximality of monotone operators representable by convex functions in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|Feb 13, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、非反射的バナッハ空間において、すべての $ (x,x^*), (x^*,x^{**}) $ に対して $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ および $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ を満たす、$ X \times X^* \to \overline{\mathbb{R}} $ への下半連続な凸関数 $ h $ が、その下水平集合を用いて最大単調作用素を生成することを確立する。主な貢献は、このような作用素が、既知の反射的設定からの拡張として、厳密なブロニステッド＝ロッカーフェラー性質を満たすことを証明することにある。

ABSTRACT

In this work we are concerned with maximality of monotone operators representable by certain convex functions in non-reflexive Banach spaces. We also prove that these maximal monotone operators satisfy a Bronsted-Rockafellar type property. We show that if a function in XxX^* and its conjugate are above the duality product in their respective domains, then this function represents a maximal monotone operator.

研究の動機と目的

• 非反射的バナッハ空間における凸関数によって表現可能な作用素の最大単調性の十分条件を確立すること。
• 凸表現を用いて、ブロニステッド＝ロッカーフェラー性質を反射的でない設定へ拡張すること。
• $ X \times X^* $ および $ X^* \times X^{**} $ における双対積との関係で、フィッツパトリック関数とその共役を特徴付けること。
• 一般化された条件 (4) が非反射的空間において最大単調性に十分であるかどうかの問いを解消すること。

提案手法

• すべての $ x^{**} \in X^{**} $ に対して $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ および $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ を満たす、$ X \times X^* $ 上の凸関数 $ h $ を定義する。
• 作用素 $ T = \{(x,x^*) \in X \times X^* \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ を構成し、それが最大単調であることを示す。
• 作用素 $ T $ の最小凸表現としてフィッツパトリック関数 $ \varphi_T $ を用い、$ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ を証明する。
• 厳密なブロニステッド＝ロッカーフェラー性質を適用する：任意の $ \eta > \varepsilon > 0 $ に対して、$ x^* \in T^\varepsilon(x) $ ならば、誤差を制御した $ T $ 内の点列 $ (\bar{x}_\lambda, \bar{x}^*_\lambda) $ が存在する。
• 下半連続性および収束の議論を用いて $ (z,z^*) \in T $ を示し、閉性および最大性を証明する。
• 関数 $ h $ の凸包が共役および優越性を保つことを利用し、一部の結果において下半連続性の仮定を除去可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反射的バナッハ空間において、$ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ および $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ が最大単調性に十分であるか。
• RQ2 非反射的空間における最大単調作用素のフィッツパトリック関数 $ \varphi_T $ が、すべての $ x^{**} \in X^{**} $ に対して $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ を満たすか。
• RQ3 非反射的空間において、ブロニステッド＝ロッカーフェラー性質を強化し、$ \varepsilon $-拡大を $ T $ のグラフ内の要素によって近似可能かどうか。
• RQ4 一般化された条件 (4) の下で、作用素 $ T = \{(x,x^*) \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ が最大単調であるか。
• RQ5 このような作用素に対して、フィッツパトリック関数の共役が $ X^* \times X^{**} $ における双対積を優越するか。

主な発見

• 関数 $ h $ が適切で、凸かつ下半連続であり、すべての $ x^{**} \in X^{**} $ に対して $ h(x,x^*) \geq \langle x,x^* \rangle $ および $ h^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ を満たすならば、作用素 $ T = \{(x,x^*) \in X \times X^* \mid h^*(x^*,x) = \langle x,x^* \rangle \} $ は最大単調である。
• このような $ T $ のフィッツパトリック関数 $ \varphi_T $ は、すべての $ x^{**} \in X^{**} $ に対して $ \varphi_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*,x^{**} \rangle $ を満たし、双対積の優越性が二重双対へ拡張される。
• 最大単調作用素 $ T $ は厳密なブロニステッド＝ロッカーフェラー性質を満たす：任意の $ \eta > \varepsilon > 0 $ に対して、$ x^* \in T^\varepsilon(x) $ ならば、任意の $ \lambda > 0 $ に対して $ \|x - \bar{x}_\lambda\| < \lambda $ および $ \|x^* - \bar{x}^*_\lambda\| < \eta / \lambda $ を満たす $ (\bar{x}_\lambda, \bar{x}^*_\lambda) \in T $ が存在する。
• $ h $ が下半連続でなくても、$ h $ の凸包が共役および優越性を保つため、一部の結果において下半連続性の仮定を除去可能である。
• 収束性と下半連続性を用いて、$ (u_k, u_k^*) \to 0 $ かつ $ \langle u_k, u_k^* \rangle \to 0 $ を満たす列 $ (u_k, u_k^*) $ を構成し、$ h $ の下半連続性から $ (z,z^*) \in T $ を結論づけ、閉性および最大性を証明する。
• 一般化された条件 (4) を満たす関数のクラスは、非反射的バナッハ空間における最大単調作用素を完全に特徴づけ、既知の反射的設定からの特徴づけを拡張する。