[論文レビュー] Brouwer degree, domination of manifolds, and groups presentable by products

Pierre de la Harpe|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非ゼロの次数をもつ連続写像による多様体の支配を調べ、群が積として実現可能であるという概念を通じて、位相的性質と群論的性質を結びつける。特に、非可換なアフィンでない、無限で非可約なコクセター群や特定の線型代数群など、ある種の群が、ブルーワー次数と単体体積の障害を用いて、可換な無限部分群の積に分解できないことを示している。

ABSTRACT

For oriented connected closed manifolds of the same dimension, there is a transitive relation: $M$ dominates $N$, or $M \ge N$, if there exists a continuous map of non-zero degree from $M$ onto $N$. Section 1 is a reminder on the notion of degree (Brouwer, Hopf), Section 2 shows examples of domination and a first set of obstructions to domination due to Hopf, and Section 3 describes obstructions in terms of Gromov's simplicial volume. In Section 4 we address the particular question of when a given manifold can (or cannot) be dominated by a product. These considerations suggest a notion for groups (fundamental groups), due to D. Kotschick and C. Löh: a group is presentable by a product if it contains two infinite commuting subgroups which generate a subgroup of finite index. The last section shows a small sample of groups which are not presentable by products; examples include appropriate Coxeter groups.

研究の動機と目的

• ある多様体が非ゼロの次数をもつ連続写像によって支配される条件を理解すること。
• 特に単体体積と基本群の構造に関連して、支配に対する位相的・幾何学的障害を調査すること。
• 2つの無限で可換な部分群が有限指数部分群を生成するような群、すなわち積として実現可能な群である群を同定すること。
• 特にコクセター群および線型代数群の文脈において、積として実現不可能な群のクラスを特定すること。
• 単体体積や次数理論といった幾何的不変量を、リー代数における分解可能性やイデアル構造といった群論的性質と結びつけること。

提案手法

• 同じ次元の向き付け可能で、閉じており、連結な多様体間の滑らかな写像に対してブルーワー次数理論を用いる。
• ホフの支配障害を適用し、次数がゼロでなく、基本類に誘導されるホモロジー写像が存在することを確認する。
• グロモフの単体体積を位相的障害として用いる：単体体積が正である多様体は、同じ次元の積多様体によって支配されえない。
• 線型代数群のリー代数構造を解析し、可換な非自明なイデアルの存在によって、それが積として実現可能かどうかを決定する。
• ザリスキの稠密性の概念を用いて、代数群の性質を離散部分群（例えばバウムスラッグ＝ソリター群や $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$）に持ち上げる。
• コクセター群の正規表現を、ティーツ形式を保存する直交群に埋め込むことで、リー代数のイデアル構造を用いて非実現可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの多様体が積多様体によって支配可能であり、その際の位相的障害は何か？
• RQ2 基本群にどのような条件が、多様体が積多様体によって支配されないのを防ぐか？
• RQ3 有限生成群の中で、積として実現可能な群はどれであり、リー代数や群論的構造を用いてどのように同定できるか？
• RQ4 単体体積とブルーワー次数が、積多様体による支配を妨げる相互作用は何か？
• RQ5 非可約で無限で非アフィンなコクセター群は、積として実現可能か？ その実現を妨げる構造的特徴は何か？

主な発見

• 単体体積が正である多様体は、同じ次元のいかなる多様体の積に対しても支配されえない。
• 実アフィン群 $\mathrm{Af}_1(\mathbb{R})$ のリー代数は、唯一の非自明なイデアルを持つため、積として実現可能でない。これにより、$|n| \geq 2$ の $\mathrm{BS}(1,n)$ も積として実現可能でないことが示される。
• $n \geq 2$ の $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ は、積として実現可能でない。これはそのリー代数が非自明な可換イデアルを持たないからである。
• $\mathfrak{g}$ が単純で $V^r$ に非自明に作用する半直積 $V^r \rtimes \mathfrak{g}$ は、中心化子とイデアル構造のため、積として実現可能でない。
• 非可約で無限で非アフィンなコクセター群は、積として実現可能でない。これは関連するリー代数が $V^r \rtimes \mathfrak{g}$ の形をしており、非自明な可換イデアルを持たないからである。
• $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ のザリスキ稠密部分群は、積として実現不可能性を継承するため、離散算術群へと結果を拡張できる。