[論文レビュー] Brown-Peterson spectra in stable A^1-homotopy theory

Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Apr 9, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、局所化された代数的cobordismスペクトル MGL_{(p)} 上にモチビック Quillen の冪等元を定義することにより、体 k 上の安定 A¹-ホモトピー圏において Brown-Peterson スペクトルを構成する。これにより、BP が MGL_{(p)} の直接和成分として実現可能となる。この構成は、代数的状況における Quillen の定理に依存せず、トポロジカル部分環 E^* = ⊕E^{2i,i} における形式的群法則の対応に依存する。

ABSTRACT

We characterize ring spectra morphisms from the algebraic cobordism spectrum $\QTR{Bbb}{MGL}$ (\QCITE{cite}{}{Vo1}) to an oriented spectrum $\QTR{Bbb}{E}$ (in the sense of Morel \QCITE{cite}{}{Mo}) via formal group laws on the ''topological'' subring $E^{*}=\oplus_iE^{2i,i}$ of $E^{**}$. This result is then used to construct for any prime $p$ a motivic Quillen idempotent on $\QTR{Bbb}{MGL}_{(p)}$. This defines the $BP$-spectrum associated to the prime $p$ as in Quillen's \QCITE{cite}{}{Q1} for the complex-oriented topological case.

研究の動機と目的

• 体 k に対して、安定 A¹-ホモトピー圏 SH(k) における Brown-Peterson スペクトルを定義し、Quillen のトポロジカルな構成を代数的幾何学へ拡張する。
• MGL^{**} の既知の計算の欠如を克服するため、MGL^* = ⊕MGL^{2i,i} というトポロジカル部分環に注目し、これは複素cobordism 環 MU^* に同型であると予想されている。
• スペクトル写像 MGL → E と E^* = ⊕E^{2i,i} 上の形式的群法則との間の対応を確立し、これにより BP を冪等分解を用いて構成する。
• 代数的状況では未知の Lazard 環に関する Quillen の定理に依存せずに、MGL_{(p)} 上に純粋にモチビックな Quillen 冪等元を定義する。
• モチビック Quillen 冪等元を用いて、図式 MGL_{(p)} → MGL_{(p)} → ... のコロイミットとして BP を定義し、BP が MGL_{(p)} からの自然な写像を備えた可換なスペクトル環であることを得る。

提案手法

• SH(k) 内の方向付きスペクトルに関する Morel の結果を用いて、安定および不安定両形式での Thom 同型を確立する。
• 方向付きスペクトル E における方向づけが、トポロジカル部分環 E^* = ⊕E^{2i,i} 上の形式的群法則とちょうど一対一に対応することを証明し、これにより Quillen の定理をモチビック設定へ一般化する。
• MGL_{(p)}^* 上で、p-典型的な形式的群法則 F_{x_{(p)}^0} とその p-典型的化 F_{x_{(p)}} の間の標準的厳密同型 ε: F_{x_{(p)}^0} → F_{x_{(p)}} を構成する。
• この同型を用いて、定理 4.5 を介して、写像 e: MGL → MGL_{(p)} であるスペクトル環写像を誘導し、これは e_{(p)}: MGL_{(p)} → MGL_{(p)} に引き上げられる。
• cofiber 論法と MGL_{(p)}^{**} 内のスメッシュ積の同型を用いて、差分 β∘μ_{(p)} − μ_{(p)}∘(β∧β) が消えることを示し、e_{(p)} が冪等的かつスペクトル環写像であることを証明する。
• 冪等的 e_{(p)} を用いて、図式 MGL_{(p)} → MGL_{(p)} → ... のコロイミットとして Brown-Peterson スペクトル BP を定義し、BP が MGL_{(p)} の直接和成分であることを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Quillen の定理（MU^* と Lazard 環の同型）に依存せずに、安定 A¹-ホモトピー圏 SH(k) 内に Brown-Peterson スペクトルを構成できるか？
• RQ2 方向付きスペクトル E に対して、スペクトル写像 MGL → E と E^* = ⊕E^{2i,i} 上の形式的群法則との間には、自然な対応が存在するか？
• RQ3 MGL_{(p)} 上に、well-defined な BP スペクトルを直接和成分として得るモチビック Quillen 冪等元を定義できるか？
• RQ4 冪等的 e_{(p)} を用いた BP の構成により、SH(k) 内で可換なスペクトル環が得られ、MGL_{(p)} への自然な写像を備えるか？
• RQ5 古典的トポロジカル BP スペクトルの構造的性質を保ちながら、全構成をモチビック設定で行えるか？

主な発見

• MGL_{(p)}^* 上の形式的群法則の厳密同型により、MGL → MGL_{(p)} への自然なスペクトル環写像 e: MGL → MGL_{(p)} が構成され、これにより e_{(p)}: MGL_{(p)} → MGL_{(p)} が誘導される。
• e_{(p)} が冪等的かつスペクトル環写像であることが示され、SH(k) 内でモチビック Quillen 冪等元が確立される。
• BP は図式 MGL_{(p)} → MGL_{(p)} → ... と冪等的 e_{(p)} を用いたコロイミットとして定義され、SH(k) 内の可換なスペクトル環となる。
• BP → MGL_{(p)} と MGL_{(p)} → BP という自然な写像 u: BP → MGL_{(p)} と ẽ: MGL_{(p)} → BP が存在し、ẽ∘u = id_{BP} かつ u∘ẽ = e_{(p)} が成り立つ。これにより、BP が MGL_{(p)} の直接和成分であることが証明される。
• この構成はモチビックおよびトポロジカル両設定で有効であり、トポロジカル状況では、Lazard 環に関する Quillen の定理に依存しない BP の存在の別証明が得られる。
• Quillen の定理の使用を避けるために、Cartier の定理と、MU^* に同型であると予想されるトポロジカル部分環 MGL^* の形式的群法則の構造に依存している。