[論文レビュー] Brownian motion: a case of temperature fluctuations

J. Łuczka, B. Zaborek|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2004

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、時間にわたって変動する温度を示す媒体におけるブラウン運動を調査し、温度を確率過程としてモデル化する。時間に依存する温度を伴うランジュバン方程式を用いて、定常速度分布が非マクスウェル型で非平衡状態であることを導出し、具体的には二つのマクスウェル分布の重ね合わせであることを示した。温度の揺らぎが、同じ2次のモーメントを持つ平衡系と比較して、尖度が増加し、非ガウス的である速度統計を示す非平衡定常状態を引き起こすことを明らかにした。

ABSTRACT

A diffusion process of a Brownian particle in a medium of temperature $T$ is re-considered. We assume that temperature of the medium fluctuates around its mean value. The velocity probability distribution is obtained. It is shown that the stationary state is not a thermodynamic equilibrium state described by the Maxwell distribution. Instead a nonequilibrium state is produced by temperature fluctuations.

研究の動機と目的

• 温度の揺らぎがブラウン運動の定常状態に与える影響を調査すること。
• 温度の揺らぎが、マクスウェル＝ボルツマン分布とは異なる非平衡定常状態を引き起こすかどうかを特定すること。
• 温度が時間に依存する確率過程である場合に、速度統計を分析するための枠組みを構築すること。
• 特に尖度を含む高次モーメントを用いて、平衡からの逸脱を定量化すること。

提案手法

• 温度を二状態のマコフ過程としてモデル化する：T(t) = T₀ + η(t)，ここでη(t)は平均ゼロで−aと+bの間を揺らぐ。
• 時間に依存する温度T(t)を含む一般化されたランジュバル方程式を用いる。標準形 mẍ + γẋ = √(2γkT(t)) ξ(t) を保持する。
• 速度の特性関数の時間発展を導出するために、切り捨てられた特性関数法を用いる。
• 温度過程の無限小生成作用素を導出し、特性関数の発展方程式を構築する。
• 二値温度過程に対して発展方程式を解析的に解き、定常速度分布の明示的表現を導出する。
• 定常特性関数を用いて、尖度を含む統計モーメントを計算し、非ガウス性を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 温度が揺らぐ場合にも定常速度分布が存在するか。また、それはマクスウェル＝ボルツマン分布と等価であるか。
• RQ2 温度の揺らぎが、特に高次モーメントに影響を及ぼすことで、ブラウン速度の統計的性質がどのように変化するか。
• RQ3 温度揺らぎの相関時間は、定常速度分布の形状にどのような役割を果たすか。
• RQ4 系が、同じ2次のモーメントだが、異なる高次統計を持つ非平衡定常状態を示すことができるか。

主な発見

• 定常速度分布は、温度 T₀−a と T₀+b に対応する二つのマクスウェル分布の重ね合わせであり、各状態に留まる平均滞在時間によって重みづけられている。
• 速度分布の尖度は正であり、温度揺らぎの分散および相関時間τcとともに増加し、長時間相関の極限では最大値 ab/T₀² に達する。
• 2次のモーメント 〈v²〉は、平衡状態のマクスウェル＝ボルツマン分布と同一の kT₀/2 に保たれ、2次モーメントでは有効温度に変化がないことを示している。
• 4次のモーメント 〈v⁴〉はマクスウェル分布のそれより大きくなり、温度揺らぎによって非ガウス的で、より鋭い統計的性質が生じることを確認した。
• 平均二乗変位 〈x²(t)〉は長時間において 2Dt に比例し、D = kT₀/γ で与えられ、平衡状態の拡散係数と同一である。
• 系は、2次モーメントが同一であるにもかかわらず、平衡統計力学では記述できない非平衡定常状態を示している。