[論文レビュー] Brownian motion with general drift

Damir Kinzebulatov, Yu. A. Semënov|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 3 $ において、漂移項 $ b $ が弱形式有界ベクトル場のクラス $ \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ に属する場合、確率微分方程式 $ dX(t) = -b(X(t))dt + \sqrt{2}dW(t) $ の弱解の存在と一意性を確立する。このクラス $ \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ は、臨界定常および臨界クラス（例えば $ L^d + L^\infty $、カト型クラス、弱 $ L^d $）を含む。主な貢献は、関連するフィラー過程が概収束連続かつ有限な軌道を持つことを証明し、広範な漂移条件のもとで経路的正則性を保証することにある。

ABSTRACT

We construct and study the weak solution to stochastic differential equation $dX(t)=-b(X(t))dt+\sqrt{2}dW(t)$, $X_0=x$, for every $x \in \mathbb R^d$, $d \geq 3$, with $b$ in the class of weakly form-bounded vector fields, containing, as proper subclasses, a sub-critical class $[L^d+L^\infty]^d$, as well as critical classes such as weak $L^d$ class, Kato class, Campanato-Morrey class, Chang-Wilson-T. Wolff class.

研究の動機と目的

• 古典的な $ L^p $（$ p > d $）やカト型クラスの仮定を超えて、漂移項 $ b $ を有する確率微分方程式の弱解の存在と一意性を拡張すること。
• 臨界定常および臨界ベクトル場を含む広いクラスの漂移項のもとで、解過程の経路的正則性（概収束連続性および有界性）を確立すること。
• 正則化された漂移項 $ b_n $ における極限手続きを通じてフィラー過程を構成し、関連する半群が $ C_\infty $ 上で強い作用素位相において収束することを保証すること。
• $ L^d + L^\infty $、カト型クラス、カムパナト・モレイクラス、チャング・ウィルソン・ト・ウォルフクラスを含むクラス $ \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ を導入し、既存の singular drift を有する SDE に関する結果を統一的かつ一般化すること。
• 測度 $ \mathbb{P}_x $ に関して、得られたマルコフ過程の軌道が $ C([0,\infty[, \mathbb{R}^d) $ に属することを証明し、経路的連続性および爆発の不在を保証すること。

提案手法

• 著者らは、リゾルベント $ (\lambda - \Delta)^{-1/4} $ を用いた弱形式有界性条件により、クラス $ \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ を定義し、漂移項の可積分性および正則性を保証する。
• フリードリッヒスのモリファイアを用いて、滑らかで compact な台を持つ近似列 $ b_n = \gamma_{\varepsilon_n} * (\mathbf{1}_n b) $ を構成し、漂移項を正則化する。
• $ L^1_{\text{loc}} $ での収束 $ b_n \to b $ を用い、半群 $ e^{-t\Lambda_{C_\infty}(b_n)} $ の強収束を $ e^{-t\Lambda_{C_\infty}(b)} $ に示し、フィラー半群を形成する。
• 解過程は、$ C_\infty(\mathbb{R}^d) $ 上のこのフィラー半群に関連する強マルコフ過程として構成され、値が $ D([0,\infty[, \bar{\mathbb{R}}^d) $ に属する。
• 主な技術的道具は、リゾルベント $ (\mu - \Delta)^{-1} $ を用いた摂動推定であり、作用素ノルム推定と補間技法を用いて境界を導出する。
• 作用素ノルム $ \| |b_n|^{1/p} \nabla (\mu - \Delta)^{-1} \|_{p \to p} $ に対する一様な境界を導出し、$ m_d c_p \delta $ によって制御され、条件 $ m_d \delta < 4(d-2)/(d-1)^2 $ の下で 1 よりも小さいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漂移項 $ b $ が弱形式有界クラス $ \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ に属する場合、$ b \in L^p $（$ p > d $）でない場合を含めて、SDE $ dX(t) = -b(X(t))dt + \sqrt{2}dW(t) $ の弱解が存在するか。
• RQ2 漂移項 $ b $ が特異的または臨界定常的であっても、$ d \geq 3 $ の下で解過程が概収束連続かつ有限な軌道を持つことが示せるか。
• RQ3 $ b \in \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ の下で、$ -\Delta + b \cdot \nabla $ によって生成されるフィラー半群が $ C_\infty(\mathbb{R}^d) $ 上で適切に定義され、強く連続であるか。
• RQ4 $ b \cdot \nabla $ によるラプラシアンの摂動がフィラー生成子のままであるような $ \delta $ の最適条件は何か。
• RQ5 正則化された半群 $ e^{-t\Lambda_{C_\infty}(b_n)} $ の収束が、$ t \in [0,1] $ において一様に成立し、極限がフィラー半群であることが保証できるか。

主な発見

• $ d \geq 3 $ において、$ b \in \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ かつ $ m_d \delta < 4(d-2)/(d-1)^2 $ の下で、すべての $ x \in \mathbb{R}^d $ に対して弱解が法則的に一意に存在する。
• 解過程は $ [0, \infty) $ 上で概収束連続かつ有限な軌道を持つ。したがって、$ \mathbb{P}_x $-a.s. で $ X \in C([0,\infty[, \mathbb{R}^d) $ である。
• 半群 $ e^{-t\Lambda_{C_\infty}(b)} $ はフィラー $ C_0 $-半群であり、正性を保ち、$ L^\infty $-圧縮的である。これは $ -\Delta + b \cdot \nabla $ によって生成される。
• 作用素ノルム $ \| |b_n|^{1/p} \nabla (\mu - \Delta)^{-1} \|_{p \to p} $ は $ (1+\varepsilon) m_d c_p \delta $ で一様に有界であり、$ \varepsilon $ を十分小さく、$ \delta $ を十分小さく選べば、1 よりも小さくできる。
• $ e^{-t\Lambda_{C_\infty}(b_n)} \to e^{-t\Lambda_{C_\infty}(b)} $ は $ t \in [0,1] $ において一様に収束し、極限半群が $ C_\infty(\mathbb{R}^d) $ 上で強く連続であることが保証される。
• $ \mathbf{F}^{1/2}_{\delta} $ は、臨界定常クラス（例えばカト型クラス $ \mathbf{K}^{d+1}_0 $、弱 $ L^d $、カムパナト・モレイ、チャング・ウィルソン・ト・ウォルフクラス）を真に含む。