[論文レビュー] Brownian Web and Oriented Percolation: Density Bounds

Anish Sarkar, Rongfeng Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、FKG不等式に依存しないデュアル密度バウンドを用いたブラウン運動のウェブへの収束基準を新たに確立し、従来の手法よりもより頑健な代替手法を提供する。超臨界向き付き確率的歩行における右端無限開路の空間的密度が、拡散スケーリング下で $\frac{2+o(1)}{\sigma\sqrt{\pi t}}$ として漸近的に減少することを証明し、正確な漸近的減少率を確認する。

ABSTRACT

In a recent work, we proved that under diffusive scaling, the collection of rightmost infinite open paths in a supercritical oriented percolation configuration on the space-time lattice Z^2 converges in distribution to the Brownian web. In that proof, the FKG inequality played an important role in establishing a density bound, which is a part of the convergence criterion for the Brownian web formulated by Fontes et al (2004). In this note, we illustrate how an alternative convergence criterion formulated by Newman et al (2005) can be verified in this case, which involves a dual density bound that can be established without using the FKG inequality. This alternative approach is in some sense more robust. We will also show that the spatial density of the collection of rightmost infinite open paths starting at time 0 decays asymptotically in time as c/\sqrt{t} for some c>0.

研究の動機と目的

• ブラウン運動のウェブへの収束基準を、FKG不等式に依存しない形で提供し、より頑健な手法を実現すること。
• 超臨界向き付き確率的歩行における右端無限開路の集合に対してデュアル密度バウンドを確立すること。
• これらの路の空間的密度の時間的漸近的減少率を正確に導出すること。
• 負の相関と曖昧収束に基づく新規な手法を用いて、スケーリングされた路集合の弱収束がブラウン運動のウェブに成立することを検証すること。

提案手法

• ニューマンらの[ NRS05 ]における代替収束基準を用い、FKG不等式に代えてデュアル密度バウンドに依存する。
• 向き付き確率的歩行における右端無限開路の集合 $\Gamma$ に拡散スケーリング $S_\epsilon$ を適用する。
• 将来の依存性の問題を回避するため、時刻 0 から出発する時刻 $n$ における右端路を表すランダム集合 $\mathcal{R}_0(n)$ を導入する。
• Reimerの不等式を用いて、$i < j$ のとき、事象 $\{i \in \mathcal{R}_0(n)\}$ と $\{j \in \mathcal{R}_0(n)\}$ の間の負の相関を確立し、収縮性と弱収束を実現する。
• ランダム測度の曖昧収束を用いて、スケーリングされた路集合の弱収束をブラウン運動のウェブに強化する。
• Fatouの補題と平行移動不変性を適用し、路の存在確率の下界と上界を導出し、漸近的密度結果に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 向き付き確率的歩行における右端無限路のブラウン運動のウェブへの収束は、FKG不等式に依存せずに確立可能か？
• RQ2 超臨界向き付き確率的歩行における右端無限開路の空間的密度の正確な漸近的減少率は何か？
• RQ3 FKGに基づく推定が得られない状況で、デュアル密度バウンドをどのように構築・検証できるか？
• RQ4 負の相関と曖昧収束を用いることで、スケーリングされた路集合のブラウン運動のウェブへの弱収束を強化できるか？

主な発見

• FKG不等式に依存せず、デュアル密度バウンドを確立でき、Fontes ら[ FINR04 ]の収束基準よりもより頑健な代替手法を提供する。
• 時刻 0 から出発する右端無限開路の空間的密度は、$t$ が大きいとき、漸近的に $\frac{2+o(1)}{\sigma\sqrt{\pi t}}$ として減少する。
• $S_{1/\sqrt{n}}\Gamma_0$ が標準ブラウン運動のウェブ $\mathcal{W}_0$ に弱収束する。特に、時刻 1 におけるスケーリング路集合の収束は曖昧位相で成立する。
• $n \to \infty$ のとき、$\frac{\sigma\sqrt{n}}{2}\mathbb{P}(\Gamma_0(n) \cap \{0,1\} \neq \emptyset)$ の極限は $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ 以上に下から抑えられ、ブラウン運動のウェブの強度と一致する。
• $\Gamma_0(n)$ では将来の依存性のため不可能であるのに対し、$\mathcal{R}_0(n)$ を用いることで、辺の独立性が保証され、Reimerの不等式の適用が可能になる。
• $S_{1/\sqrt{n}}\mathcal{R}_0$ が曖昧位相におけるランダム測度として $\mathcal{W}_0$ に収束することが確立され、正確な漸近的密度結果が得られる。