[論文レビュー] BRST model applied to symplectic geometry

Jaap Kalkman|ArXiv.org|Aug 27, 1993

Matrix Theory and Algorithms被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、コhomological field theoryのBRSTモデルを確立し、ハミルトニアン群作用を伴う有限次元シンプレクティック多様体上のBRST代数が、等配同調同調（equivariant cohomology）のカルタンモデルと同型であることを示している。主な貢献は、境界を持つ多様体上の等配同調形式の局在化公式の導出であり、これにより、特に円作用下の複素射影空間のシンプレクティック商のコホモロジー環の明示的計算が可能になる。

ABSTRACT

Two local macros are included (gothic.sty and fleqn.sty)

研究の動機と目的

• コホモロジカル場理論の有限次元数学的モデルを、BRST形式主義を用いて構築すること。
• カルタンモデルを通じて、BRSTコホモロジーと等配同調同調の間の対応を確立すること。
• ハミルトニアン群作用を伴う境界付き多様体上の等配同調微分形式の局在化公式を導出すること。
• 特に円作用下のCP^nのシンプレクティック商のコホモロジー環を計算すること。
• ゴーストのゴーストを含む、半直積G ⋉ Diff(M)のリー代数コホモロジーからBRST代数が生じることを示すこと。

提案手法

• 形式的構成により、BRST微分をW(g) ⊗ Ω(M)上にd_W ⊗ 1 + 1 ⊗ d + ω^a ⊗ ℒ_ a − φ^b ⊗ ι_bとして定義し、ウェイリーモデルとカルタンモデルとを関連づける。
• 経路積分と相関関数の解析のため、ベクトル空間上の微分形式へのフーリエ変換の拡張を行う。
• BRST代数がG ⋉ Diff(M)のリー代数コホモロジーから生じることを特定し、ゴーストのゴーストが複体を完成させることを示す。
• ウェイリーモデルとカルタンモデルは、リー代数の基底の選び方に依存するが、同じコホモロジーを実現する基底依存表現である。
• 特に円作用を伴うシンプレクティック多様体に形式的枠組みを適用する。
• 双線形形式と写像ε_lの核解析を用いて、境界付き多様体上の等配同調形式の固定点公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジカル場理論のBRSTコホモロジーは、有限次元多様体上でのカルタンモデルの等配同調同調とどのように関係するか？
• RQ2 ゴーストのゴーストが、BRST代数をリー代数コホモロジー複体として実現する役割は何か？
• RQ3 境界付き多様体上で等配同調形式の局在化公式を導出可能か？また、シンプレクティック商のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 CP^nの円作用によるシンプレクティック商のコホモロジー環の構造は何か？
• RQ5 非孤立固定点集合は、局在化公式とコホモロジー計算にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 群G作用を伴う有限次元多様体M上のBRST代数は、等配同調同調のカルタンモデルと同型である。
• l < kのとき、シンプレクティック商Xのベッチ数b_l(X)はl+1に等しく、k ≤ l ≤ n−kのときb_l(X) = kに等しい。
• l > n−kのとき、ポincare双対性により、lが1増えるごとにベッチ数は1ずつ減少する。
• 円作用によるCP^nのシンプレクティック商のコホモロジー環は、2つの多項式p_k = ∏_j(τ − μ_jφ)（次数k）とq_{n−k+1} = ∏_j(τ + ν_jφ)（次数n−k+1）によって生成される。
• コホモロジー環の関係式のイデアルIは、p_kとq_{n−k+1}によって生成され、共通因数を持たず、次数n+1より高いすべての関係を生成する。
• 局在化公式は非孤立固定点集合へ一般化可能であり、固定点部分多様体上のコホモロジー類から生じる三角行列ブロックが双線形形式に現れる。