[論文レビュー] Bruckner--Garg-type results with respect to Haar null sets in $C[0,1]$

Richárd Balka, Udayan B. Darji+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Nov 21, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、[0,1] 上の連続関数のレベル集合の位相的構造を、頻度（Haar零）測度論的枠組みの下で検討する。Bruckner–Garg定理が満たされる関数の集合——そのレベル集合が可算個のカントール集合、単集合、またはそれらの組み合わせである——は、非可測でもなく頻度でもない、つまりHaarアンビバレンスであることが示され、典型的な連続関数を記述する際のBaireカテゴリと頻度の根本的な違いが明らかになる。

ABSTRACT

A set $\mathcal{A}\subset C[0,1]$ is \emph{shy} or \emph{Haar null } (in the sense of Christensen) if there exists a Borel set $\mathcal{B}\subset C[0,1]$ and a Borel probability measure $μ$ on $C[0,1]$ such that $\mathcal{A}\subset \mathcal{B}$ and $μ\left(\mathcal{B}+f ight) = 0$ for all $f \in C[0,1]$. The complement of a shy set is called a \emph{prevalent} set. We say that a set is \emph{Haar ambivalent} if it is neither shy nor prevalent. The main goal of the paper is to answer the following question: What can we say about the topological properties of the level sets of the prevalent/non-shy many $f\in C[0,1]$? The classical Bruckner--Garg Theorem characterizes the level sets of the generic (in the sense of Baire category) $f\in C[0,1]$ from the topological point of view. We prove that the functions $f\in C[0,1]$ for which the same characterization holds form a Haar ambivalent set. In an earlier paper we proved that the functions $f\in C[0,1]$ for which positively many level sets with respect to the Lebesgue measure $λ$ are singletons form a non-shy set in $C[0,1]$. The above result yields that this set is actually Haar ambivalent. Now we prove that the functions $f\in C[0,1]$ for which positively many level sets with respect to the occupation measure $λ\circ f^{-1}$ are not perfect form a Haar ambivalent set in $C[0,1]$. We show that for the prevalent $f\in C[0,1]$ for the generic $y\in f([0,1])$ the level set $f^{-1}(y)$ is perfect. Finally, we answer a question of Darji and White by showing that the set of functions $f \in C[0,1]$ for which there exists a perfect $P_f\subset [0,1]$ such that $f'(x) = \infty$ for all $x \in P_f$ is Haar ambivalent.

研究の動機と目的

• C[0,1] 内の関数のレベル集合がBruckner–Garg定理の位相的特徴付けを満たす場合の頻度状態を特定すること。
• Baireカテゴリ（一般性）と頻度（測度論的意味での典型性）の下でのレベル集合の位相的性質を比較すること。
• 特定のレベル集合構造（例えば、非完備なファイバー、または完備集合上で無限大の導関数をとる関数）を持つ関数の集合が、非可測、頻度、またはHaarアンビバレンスであるかを調査すること。
• DarjiとWhiteが提起した、[0,1] 内の完備集合上で無限大の導関数をとる関数の頻度に関する疑問を解決すること。

提案手法

• Christensenの定義に従い、C[0,1]（上界ノルムを備えたポーランド群）におけるHaar零（非可測）および頻度集合の概念を用いる。
• 測度論的道具を適用：すべてのf ∈ C[0,1]に対してμ(B + f) = 0を満たすBorel確率測度μとBorel集合Bを構成し、非可測集合を定義する。
• Lebesgue測度ではなく、f値の分布に基づいてレベル集合を分析するため、占有測度λ∘f⁻¹を用いる。
• 確率過程（例えばブラウン運動）および関数解析の結果を応用し、特定のレベル集合行動を示す関数を構成する。
• 長さlnの入れ子になった区間In,σの再帰的構成を用いて、g′(x) = ∞を満たす完備集合P上で連続関数gを定義する。
• Doughertyによる、カントール集合からR^dへの頻度的な写像のファイバーに関する結果を応用し、一般ファイバーの濃度が連続体に等しいことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bruckner–Garg定理（レベル集合構造の観点から）を満たす関数の集合は、C[0,1] において頻度的、非可測的、またはHaarアンビバレンス的であるか？
• RQ2 Lebesgue測度に関して正の測度を持つy ∈ R に対して f⁻¹(y) が単集合であるような関数の集合の頻度状態は？
• RQ3 占有測度λ∘f⁻¹に関して正の測度を持つy ∈ R に対して f⁻¹(y) が完備でないような関数の集合の頻度状態は？
• RQ4 [0,1] 内の完備集合P_f ⊂ [0,1] に対してすべてのx ∈ P_f でf′(x) = ∞ となる関数の集合は、頻度的、非可測的、またはHaarアンビバレンス的であるか？
• RQ5 Kが孤立点を持たないコンパクト距離空間であるとき、C(K, R^d) 内の頻度的な関数fのファイバー構造は、一般の場合と比べてどうなるか？

主な発見

• Bruckner–Garg定理を満たすC[0,1] 内の関数fの集合はHaarアンビバレンスである。つまり、非可測でもなく頻度でもない。
• Lebesgue測度に関して正の測度を持つy ∈ R に対してf⁻¹(y) が単集合であるようなC[0,1] 内の関数fの集合はHaarアンビバレンスである。
• 占有測度λ∘f⁻¹に関して正の測度を持つy ∈ R に対してf⁻¹(y) が完備でないようなC[0,1] 内の関数fの集合はHaarアンビバレンスである。
• C[0,1] 内の頻度的なfに対して、f([0,1]) 内の一般のy ∈ R に対してレベル集合f⁻¹(y) は完備である。
• f′(x) = ∞ となる完備集合P_f ⊂ [0,1] が存在するようなC[0,1] 内の関数fの集合はHaarアンビバレンスである。
• Kが孤立点を持たないコンパクト距離空間であるとき、C(K, R^d) 内の頻度的なfに対して、f⁻¹(y) が濃度2^ℵ₀ であるような非空の開集合U_f ⊂ R^d が存在する。