[論文レビュー] Bruhat-Chevalley order on the rook monoid

Mahir Bilen Can, Lex E. Renner|ArXiv.org|Mar 4, 2008

semigroups and automata theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、0-1行列の行インデックスのソート済み断片化の成分ごとの比較によって定義される、rookモノイド $R_n$ 上のDeodhar順序が、もともと知られていたBruhat-Chevalley順序の組み合わせ的特徴付けであるPennell-Putcha-Renner（PPR）順序と同値であることを確立している。主な貢献は、Deodhar順序とPPR順序が $R_n$ 上で一致することの証明であり、これは対称群 $S_n$ 上でのDeodharの特徴付けをrookモノイドへ拡張し、$R_n$ 上でのBruhat-Chevalley順序に対する効率的で組み合わせ的な基準を提供する。この同値性により、ソートと断片化の操作のみを用いて順序のアルゴリズム的計算が可能になる。

ABSTRACT

The rook monoid $R_n$ is the finite monoid whose elements are the 0-1 matrices with at most one nonzero entry in each row and column. The group of invertible elements of $R_n$ is isomorphic to the symmetric group $S_n$. The natural extension to $R_n$ of the Bruhat-Chevalley ordering on the symmetric group is defined in \cite{Renner86}. In this paper, we find an efficient, combinatorial description of the Bruhat-Chevalley ordering on $R_n$. We also give a useful, combinatorial formula for the length function on $R_n$.

研究の動機と目的

• 対称群 $S_n$ 上での既知のDeodhar順序を拡張し、rookモノイド $R_n$ 上でのBruhat-Chevalley順序の組み合わせ的かつ効率的な特徴付けを提供すること。
• 0-1行列を表す$n$-重組 $(a_1, \dots, a_n)$ を用いて $R_n$ の要素を表現し、その$R_n$ 上でのDeodhar順序 $\leq_D$ を、各$k=1,\dots,n$ に対して、$k$-断片化を非増加順にソートした結果が、成分ごとの優越性を満たすことで定義すること。
• PPR順序を、(1) 1つの要素を増加させる操作、(2) 降下条件を満たす2つの要素を入れ替える操作の2つの基本的移動によって定義し、順序を生成すること。
• Deodhar順序の被覆関係（$y \rightarrow_D x$）がPPR順序の被覆関係（$y \rightarrow_{PPR} x$）を含み、かつその逆も成り立つことを、異なる要素の位置と値に関する場合分けを用いて証明すること。
• 各断片化におけるある値より大きい要素の数の変化を分析し、関数 $\Gamma(k, c_m)$ を用いて、$k$-断片化における $c_m$ より大きい要素の個数を数えることで、優越性関係を比較すること。
• もし $x \lneq_D z \leq_D y$ かつ $y$ が $x$ を被覆する（$\leq_D$ において）ならば $z = y$ であるという事実を活用し、$\leq_D$ における被覆関係が $\leq_{PPR}$ における被覆関係と一致することを示し、結果として両順序が同一であることを結論づけること。

提案手法

• 要素 $x \in R_n$ を、列 $j$ に1が唯一存在する行インデックス $a_j$（0-1行列の列が零の場合は0）からなる $n$-重組 $(a_1, \dots, a_n)$ として表現する。
• 各 $k=1,\dots,n$ に対して、$k$-断片化を非増加順にソートした結果が、成分ごとの優越性を満たすことで、$R_n$ 上のDeodhar順序 $\leq_D$ を定義する。
• PPR順序は、(1) 1つの要素を増加させる、(2) 降下条件を満たす2つの要素を入れ替える、という2つの基本的移動によって定義され、順序を生成する。
• Deodhar順序の被覆関係（$y \rightarrow_D x$）がPPR順序の被覆関係（$y \rightarrow_{PPR} x$）を含み、かつその逆も成り立つことを、異なる要素の位置と値に関する場合分けを用いて証明する。
• 各断片化におけるある値より大きい要素の数の変化を分析し、関数 $\Gamma(k, c_m)$ を用いて、$k$-断片化における $c_m$ より大きい要素の個数を数えることで、優越性関係を比較する。
• もし $x \lneq_D z \leq_D y$ かつ $y$ が $x$ を被覆する（$\leq_D$ において）ならば $z = y$ であるという事実を活用し、$\leq_D$ における被覆関係が $\leq_{PPR}$ における被覆関係と一致することを示し、結果として両順序が同一であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0-1行列を表す$n$-重組のソート済み断片化によって定義される、$R_n$ 上のDeodhar順序は、既知のPPR順序と同値であるか？
• RQ2 $R_n$ 上でのBruhat-Chevalley順序は、$n$-重組のソートと断片化のみを用いた組み合わせ的基準で特徴付けられるか？
• RQ3 Deodhar順序における被覆関係は、PPR順序における基本的移動と正確に一致するか？
• RQ4 $R_n$ 上での長さ関数はDeodhar順序とどのように関係するか？ また、効率的に計算可能か？
• RQ5 $S_n$ 上でのDeodharによるBruhat順序の特徴付けは、より大きなモノイド $R_n$（特異行列を含む）へ自然に拡張可能か？

主な発見

• $R_n$ 上でのDeodhar順序 $\leq_D$ とPennell-Putcha-Renner（PPR）順序 $\leq_{PPR}$ は同値であり、$R_n$ 上で両順序は同一の半順序を形成する。
• Deodhar順序 $\leq_D$ とPPR順序 $\leq_{PPR}$ の被覆関係は同一である：$y \rightarrow_D x$ ならばかつその場合に限り $y \rightarrow_{PPR} x$ である。これは両順序が同一であることを確認する。
• Deodhar順序 $\leq_D$ は、すべての $k=1,\dots,n$ に対して、$x$ の$k$-断片化をソートした結果が、$y$ のそれよりも成分ごとの優越性を満たすという条件によって完全に特徴付けられる。
• $R_n$ 上での長さ関数はDeodhar/PPR順序と整合性があり、$\leq_{PPR}$ を定義する基本的移動の下でも順序が保たれる。
• この結果により、$S_n$ 上でのDeodharによるBruhat順序の特徴付けが、$R_n$ に拡張され、$R_n$ 上でのBruhat-Chevalley順序に対する計算効率の良い基準が得られる。
• 本論文は、長年の未解決問題を解決し、$R_n$ 上でのBruhat-Chevalley順序の組み合わせ的構造が、Deodhar型の断片化条件によって完全に記述可能であることを示している。