[論文レビュー] BSDE, Path-dependent PDE and Nonlinear Feynman-Kac Formula

Shigē Péng, Falei Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、Dupireの関数的 Itô 積分法を用いて、経路に依存する係数をもつ非マルコフ型後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に対して、非線形フェインマン＝カック公式を確立する。新たに定義された経路に依存する準線形PDEのクラスを導入し、そのBSDEの解が、関数的Itô微分法を用いて、$ C^{1,2} $-滑らかさをもつ経路に依存するPDEの解に一意に対応することを証明する。古典的な非線形フェインマン＝カック理論を非マルコフ型設定へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a type of path-dependent quasilinear (parabolic) partial differential equations in which the (continuous) paths on an interval [0,t] becomes the basic variables in the place of classical variables (t,x). This new type of PDE are formulated through a classical backward stochastic differential equation (BSDEs, for short) in which the terminal values and the generators are allowed to be general functions of Brownian paths. In this way we have established a new type of nonlinear Feynman-Kac formula for a general non-Markovian BSDE. Some main properties of regularities for this new PDE was obtained.

研究の動機と目的

• 終端条件と生成子が、現在の状態ではなく、完全なブラウン運動の経路に依存する非マルコフ型設定へ、古典的な非線形フェインマン＝カック公式を拡張すること。
• 状態変数が $ (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^d $ ではなく、連続経路 $ \omega_t \in C([0,t], \mathbb{R}^d) $ であるような、新たな経路に依存する準線形PDEのクラスを定義し、その解析を行うこと。
• 係数の滑らかさ仮定の下で、経路に依存するBSDEの解と、経路に依存するPDEの $ C^{1,2} $-滑らか解との間の一対一対応を確立すること。
• Dupireの水平微分と垂直微分を用いて、経路に依存するBSDEの解の正則性を証明すること。

提案手法

• 終端条件 $ Y(T) = \Phi(\omega(s)_{0\leq s\leq T}) $ と生成子 $ f(t, \omega(s)_{0\leq s\leq t}, y, z) $ がブラウン運動の経路の汎関数であるような、経路に依存するBSDEを定式化する。
• Dupireの関数的 Itô 積分法を用いて、水平微分 $ D_t u $、垂直微分 $ D_x u $、および2階垂直微分 $ D_{xx} u $ を定義する経路に依存するPDEを導入する。
• 解 $ u(t, \omega_t) := Y(t, \omega) $ を時刻 $ t $ までの経路の汎関数として定義し、仮定 (H1) と (H2) の下でこれが $ C^{1,2} $-滑らかであることを証明する。
• 関数的 Itô の公式を過程 $ u(t, B_t^\gamma) $ に適用し、増分 $ u(\gamma_{t,t+\delta}) - u(\gamma_t) $ を時間項、拡散項、ドリフト項に分解する。
• 近似列 $ u^{(n)} $ に対する収束議論と推定を用いて極限に移り、経路に依存するPDEを導出する：$ D_t u + \frac{1}{2} D_{xx} u + f(t, \omega_t, u, D_x u) = 0 $。
• 解がPDEを満たし、係数の滑らかさを反復的近似と極限操作によって引き継ぐことにより、一意性と正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端条件と生成子が、現在の状態ではなく、完全なブラウン運動の経路に依存するBSDEに対して、古典的な非線形フェインマン＝カック公式を拡張できるか？
• RQ2 経路に依存するBSDEに対して、正しいPDEの定式化は何か？ その解を記述するために必要な微分（水平、垂直）は何か？
• RQ3 経路に依存する係数に対して、どのような滑らかさ条件を満たせば、経路に依存するBSDEの解が、経路の汎関数として $ C^{1,2} $-滑らかに表現可能になるか？
• RQ4 関数的 Itô 積分法をどのように用いて、一般の経路に依存するBSDEの解が満たす経路に依存するPDEを導出し、検証できるか？
• RQ5 Dupireの関数的微分の意味で、経路に依存するBSDEの解と経路に依存するPDEの解の間に、一対一対応が存在するか？

主な発見

• 経路に依存するBSDEの解 $ u(t, \omega_t) := Y(t, \omega) $ は、経路に依存するPDE：$ D_t u + \frac{1}{2} D_{xx} u + f(t, \omega_t, u, D_x u) = 0 $ の唯一の $ C^{1,2} $-解であり、終端条件 $ u(T, \omega_T) = \Phi(\omega_T) $ を満たす。
• BSDEにおける過程 $ Z(t) $ は、正確に垂直微分 $ D_x u(t, \omega_t) $ に一致し、制御過程の関数的微分解釈を確立する。
• 仮定 (H1) と (H2) の下で、解 $ u $ が $ C^{1,2} $-滑らかであることが示された。これらは、終端汎関数 $ \Phi $ と生成子 $ f $ が経路および状態変数に関して十分に滑らかであることを要請する。
• 近似列 $ u^{(n)} $ に対する極限議論を用い、差 $ u^{(n)}(\gamma_{t,t+\delta}) - u^{(n)}(B_{t+\delta}^\gamma) $ が正しい関数的 Itô 展開に収束することを示した。
• 重要な恒等式 $ \lim_{\delta \to 0} \frac{u(\gamma_{t,t+\delta}) - u(\gamma_t)}{\delta} = -\frac{1}{2} D_{xx} u(\gamma_t) - f(\gamma_t, u(\gamma_t), D_x u(\gamma_t)) $ が導出され、PDEが関数的意味で成立することが確認された。
• $ \Phi(\omega) = \varphi(\omega(T)) $ かつ $ f $ がマルコフ型であるマルコフ型の場合、結果はPardouxとPeng（1992）の古典的な非線形フェインマン＝カック公式に還元される。