[論文レビュー] BSDEs driven by a multi-dimensional martingale and their applications to market models with funding costs

Tianyang Nie, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、予測可能表現性を持つ多次元連続マルティングルの駆動するバックワード確率微分方程式（BSDE）について、適切な定義と、新たな比較定理を確立する。主な貢献は、資金調達コストと担保の取り決めを伴う金融モデルにおける、単一および双方向価格の存在、一意性、およびアービテージフリーな境界を導出可能にする一般化された比較定理の確立である。

ABSTRACT

We establish some well-posedness and comparison results for BSDEs driven by one- and multi-dimensional martingales. On the one hand, our approach is largely motivated by results and methods developed in Carbone et al. (2008) and El Karoui and Huang (1997). On the other hand, our results are also motivated by the recent developments in arbitrage pricing theory under funding costs and collateralization. A new version of the comparison theorem for BSDEs driven by a multi-dimensional martingale is established and applied to the pricing and hedging BSDEs studied in Bielecki and Rutkowski (2014) and Nie and Rutkowski (2014). This allows us to obtain the existence and uniqueness results for unilateral prices and to demonstrate the existence of no-arbitrage bounds for a collateralized contract when both agents have non-negative initial endowments.

研究の動機と目的

• 既存のBSDEの比較定理を、予測可能表現性を持つ多次元連続マルティングルに拡張すること。
• Carboneら（2013年）およびEl Karoui & Huang（1997年）の研究で用いられた、ドレアン＝ドレアン指数の厳しい可積分性および正値性条件を緩和すること。
• 資金調達コストと担保付き取引を伴う金融市場における、継続的請求権の価格設定とヘッジの理論的基盤を提供すること。
• 新比較定理が、双方向信用リスクと資金調達スプレッドを含む現実の市場モデルにどのように適用可能かを示すこと。
• 資金調達コストモデルにおける公平な双方向価格の非空な区間の存在、および初期純資産に対する価格の単調性を確立すること。

提案手法

• 生成子にm-リプシッツ条件を課した場合に、多次元連続マルティングルによって駆動されるBSDEの存在、一意性、安定性の結果を導出する。
• 生成子が一様にm-リプシッツ的であるBSDEに対して、先行研究よりも弱い仮定のもとで有効な新しい比較定理（定理3.3）を導入する。
• 二次変動過程⟨M⟩に関する代替仮定（仮定4.1および4.2）を分析し、適用範囲を広げる。
• Bielecki & Rutkowski（2013年）およびNie & Rutkowski（2014年）の研究から導かれる、資金調達コストを伴う市場モデルにおけるBSDEに、比較定理を適用する。
• 元のBSDEを共通の終値条件およびドリフト項を持つ形に変換し、新定理を用いて直接比較可能にする。
• 変換されたBSDEを用いて、解の間の不等式を証明し、単一価格の境界および初期純資産に関する単調性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carboneら（2013年）およびEl Karoui & Huang（1997年）の研究よりも弱い仮定のもとで、予測可能表現性を持つ多次元連続マルティングルによって駆動されるBSDEの比較定理を確立できるか？
• RQ2 比較定理をどのように応用することで、資金調達コストと担保の取り決めを伴う双方向契約におけるアービテージフリーな価格境界を導出できるか？
• RQ3 資金調達コストモデルにおいて、継続的請求権の価格は、エージェントの初期純資産が増加するにつれてどのように変化するか？
• RQ4 非対称な資金調達コストと担保の取り決めを伴うモデルにおいて、公平な双方向価格の非空な区間の存在を厳密に確立できるか？
• RQ5 資金調達コストモデルにおけるBSDEの生成子が、新比較定理の要件を満たすための条件は何か？

主な発見

• 生成子にm-リプシッツ条件を課した場合に、予測可能表現性を持つ多次元連続マルティングルによって駆動されるBSDEに対して、新しい比較定理（定理3.3）が確立された。
• 比較定理を用いて、正の初期純資産を持つBSDEの解が、より小さい純資産を持つ解を支配することを示し、初期資産に応じた価格の単調性を示した。
• 両方の当事者が非負の初期純資産を持つ担保付き契約において、公平な双方向価格の非空な区間の存在が確立された。
• 資金調達コストモデルから生じるクラスのBSDEに対して、比較定理の仮定が検証された。特に、担保付き取引と非対称な資金調達スプレッドを伴うモデルが含まれる。
• 不等式 $-\widetilde{f}_l(t, y + x_1, z) \geq \widetilde{f}_l(t, -y + x_2, -z)$ が $x_1, x_2 \geq 0$ に対して $\widetilde{\mathbb{P}}^l \otimes \ell$-ほとんど everywhere で成り立つことが確認され、比較結果の有効性が保証された。
• 重要な不等式（5.13）の証明は、$r^l_t \leq r^b_t$ および恒等式 $\delta = \sum_{i=1}^d (r^l_t - r^{i,b}_t)|\widetilde{z}^i_t| \leq 0$ に依拠しており、必要な生成子条件が満たされていることが確認された。