[論文レビュー] BSDEs driven by $|z|^2/y$ and applications to PDEs and decision theory

Khaled Bahlali, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$\pm|z|^2/y$ 形式の特異生成項をもつ後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在と一意性を確立し、特異PDEや意思決定理論的モデルに対する確率的解法を可能にする。主な貢献は、価値過程における特異性を扱える新しい確率的手法であり、特に $|\nabla v|^2/v$ 項を含むPDEの粘性解や、ファイナンス分野における非マルコフ型ストキャスティック微分ユーティリティへの応用が顕著である。

ABSTRACT

Existence and uniqueness is established for a large class of backward stochastic differential equations which contain singular terms of the form $\\pm|z|^2/y$. The results are applied to investigate singular partial differential equations (PDEs) and to decision theory problems that cannot be studied using classical regular BSDEs. The application to PDEs concerns the existence of viscosity solutions to PDEs containing a singular term of the form $\\pm|\ abla v|^2/v$ with rather weak assumptions on the regularity of the coefficients. Such PDEs with singularity in the value process appear in several applications in physics and economics. Regarding the application to decision theory, on the one hand, we use singular BSDEs to solve portfolio optimization problems with logarithm and power utility and non-trivial terminal endowment. Moreover, we derive existence and uniqueness of the general version of the non-Markovian Kreps-Porteus stochastic differential utility defined by Duffie and Lions [17] and constructed, in the Markovian case using PDE arguments by Duffie and Lions [19].

研究の動機と目的

• 後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の特異生成項 $\pm|z|^2/y$ をもつ場合、$y \to 0$ のとき特異性が生じる状況において、解の存在と一意性を確立すること。
• 生成項がリプシッツ連続でも有界でもない場合、特に特異PDEや意思決定理論への応用を想定し、古典的BSDE理論を拡張すること。
• 係数に弱い正則性仮定をおく条件下で、$\pm|\nabla v|^2/v$ のような特異項を含む放物型PDEの粘性解に対する確率的表現を提供すること。
• 標準的な二次BSDEでは取り扱えない、対数ユーティリティおよびパワー型ユーティリティ関数と非自明な終端保有資産をもつポートフォリオ最適化問題を解くこと。
• 従来、PDE手法によるアプローチでのみ知られていた非マルコフ型のKreps-Porteusのストキャスティック微分ユーティリティの一般形について、解の存在と一意性を確立すること。

提案手法

• 著者らは、特異BSDEを正則な形に変換するための測度変換と時間変換の技法を導入し、標準的なBSDEの存在・一意性結果の適用を可能にする。
• 支配条件と(D)クラスの性質を用いて、特に $Y_t$ および $1/Y_t$ のゼロ近傍における解の挙動を制御する。
• 事前推定と一様可積分性の議論を用いて、弱い可積分性条件のもとで近似列の収束を証明する。
• PDEの解の確率的表現を用い、BSDEの解と関連するPDEの粘性解を結びつける。
• パスワイズ一意性と弱収束の技法を組み合わせ、極限過程の分布収束およびパスワイズ不変性を確立する。
• スコロホドの表現と緊密性の議論を用いて、反射付きSDEおよび局所時刻を含む場合に対しても、弱い条件下で解の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端条件 $\xi$ に対して弱い可積分性条件が成り立つ場合、生成項 $H(y,z) = \pm|z|^2/y$ をもつBSDEについて、解の存在と一意性を確立できるか？
• RQ2 このようなBSDEが、$\pm|\nabla v|^2/v$ のような特異項を含むPDEの粘性解に対する確率的表現を提供できるか？
• RQ3 この枠組みにより、対数ユーティリティまたはパワー型ユーティリティ関数と非自明な終端保有資産をもつポートフォリオ最適化問題が、古典的二次BSDEでは解けないが、解けるか？
• RQ4 確率的BSDEアプローチを用いて、一般の非マルコフ型Kreps-Porteusのストキャスティック微分ユーティリティを構成可能か？
• RQ5 このような特異BSDEの解の存在と一意性が保証されるための、係数に関する最小限の正則性条件は何か？

主な発見

• 終端条件 $\xi > 0$ a.s. かつ $\mathbb{E}[|\xi|^3] < \infty$ のとき、BSDE $Y_t = \xi + \int_t^T \frac{|Z_u|^2}{Y_u} du - \int_t^T Z_u dW_u$ は、$\mathbb{E}[\sup_t |Y_t|^2] + \mathbb{E}[\int_0^T |Z_t|^2 dt] < \infty$ を満たす一意な解をもち、$Y^3$ が(D)クラスに属する解の範囲で一意性が保証される。
• 終端条件 $\xi < 0$ a.s. かつ $\mathbb{E}[1/|\xi|] < \infty$ のとき、BSDE $Y_t = \xi - \int_t^T \frac{|Z_u|^2}{Y_u} du - \int_t^T Z_u dW_u$ は解をもち、$1/Y$ が(D)クラスに属する解の範囲で一意性が保証される。$\xi \in L^2$ のとき、解は $\mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}^2$ の意味で一意である。
• この手法により、$h$ および係数に弱い正則性仮定をおく条件下で、$\partial_t v + \frac{1}{2}\Delta v + \delta \frac{|\nabla v|^2}{v} = 0$ かつ $v(T,x) = h(x)$ を満たすPDEの粘性解に対する確率的表現が可能である。
• この枠組みにより、対数ユーティリティおよびパワー型ユーティリティ関数と非自明な終端保有資産をもつポートフォリオ最適化問題が、古典的BSDEの $|z|^2$ 生成項では解けないが、解けるようになる。
• 本論文では、非マルコフ型の一般Kreps-Porteusのストキャスティック微分ユーティリティの存在と一意性が確立され、DuffieとLionsによる従来のPDEベースの結果が非マルコフ型へと拡張される。
• 近似列の収束は、緊密性、スコロホドの表現、およびパスワイズ一意性を用いて証明され、分布収束および極限のパスワイズ不変性が保証される。