[論文レビュー] BSDEs with random default time and their applications to default risk

Shigē Péng, XU Xiao-ming|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、デフォルトリスクを伴う金融市場において、ブラウン運動とデフォルトマルティンゲールによって駆動される後向き確率微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立し、モデルの不確実性下でのロバストプライシングへの応用を含む。比較定理を証明し、その結果をデフォルトリスク下でのゼロサム確率微分ゲームにおけるサドルポイント戦略の導出に応用する。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with backward stochastic differential equations with random default time and their applications to default risk. The equations are driven by Brownian motion as well as a mutually independent martingale appearing in a defaultable setting. We show that these equations have unique solutions and a comparison theorem for their solutions. As an application, we get a saddle-point strategy for the related zero-sum stochastic differential game problem.

研究の動機と目的

• ランダムなデフォルト時刻を伴う後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて、金融市場におけるデフォルトリスクをモデル化する課題に取り組む。
• 拡大フィルトレーション下でブラウン運動とデフォルト関連マルティンゲールによって駆動されるBSDEの解の存在および一意性を確立する。
• このようなBSDEの解に対して比較定理を構築し、異なるリスクシナリオの間で比較分析を可能にする。
• 理論的結果を応用して、特に不完全または曖昧な市場におけるモデル不確実性下での継続的クレームのロバスト評価を実現する。
• 提案されたBSDEフレームワークを用いて、デフォルトリスクを伴うゼロサム確率微分ゲームにおけるサドルポイント戦略を導出する。

提案手法

• ブラウン運動BとデフォルトマルティンゲールMによって駆動され、拡大フィルトレーションG = F ∨ Hの下で定義される、ランダムなデフォルト時刻τを伴うBSDEを定式化する。
• F-ハザード過程Γとその強度過程γを導入し、デフォルト時刻τがF-停止時刻でないことを保証し、デフォルトマルティンゲールM_t = H_t - Γ_{t∧τ}を構築する。
• Kusuokaのマルティンゲール表現定理を適用し、任意のG-平方可積分マルティンゲールをBおよびMに関するストナスキー積分の和として表現する。
• Girsanovの定理を用いて、実際の確率測度Pからリスク中立的測度Qに確率測度を変更し、異なるシナリオ下での公平価格の導出を可能にする。
• 非線形BSDEの一般形であるY_t = ξ + ∫_t^T g(s,Y_s,Z_s,ζ_s)ds - ∫_t^T Z_s dB_s - ∫_t^T ζ_s dM_sを導出する。ここで生成子gはモデルの不確実性を捉えている。
• 生成子gおよび終端条件ξに対して適切な条件下で比較定理を確立し、解の順序が終端値および生成子の挙動に基づいて保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動とデフォルトマルティンゲールという2つの独立したマルティンゲールによって駆動され、ランダムなデフォルト時刻を伴う後向き確率微分方程式が、どのような条件下で一意な解をもつか？
• RQ2 生成子および終端条件が順序付けられていない場合に、このようなBSDEの解に対して比較定理をどのように確立できるか？
• RQ3 ハザード過程および強度過程が、BSDEフレームワーク内でのデフォルトリスクの特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 ランダムなデフォルト時刻を伴うBSDEの理論を、特にリスク中立的測度が曖昧な状況下でのモデル不確実性下でのロバストプライシングにどのように応用できるか？
• RQ5 提案されたBSDE定式化を用いて、デフォルトリスクを伴う市場におけるゼロサム確率微分ゲームに対して、サドルポイント戦略を導出できるか？

主な発見

• 生成子に関する標準的な可積分性およびリプシッツ条件の下で、ブラウン運動とデフォルトマルティンゲールによって駆動されるランダムなデフォルト時刻を伴うBSDEは一意な解をもつ。
• 解の比較定理が確立され、終端条件および生成子が特定の順序を満たす場合、それに対応する解もほとんど確実にその順序を保つことが示された。
• 生成子g(s, y, z, ζ) = sup_{(u,v,w)∈Θ} (u y + v z + w ζ)は、リスク中立的測度におけるモデルの不確実性を捉えており、スーパーヘッジングによるロバストプライシングをもたらす。
• モデル不確実性下での継続的クレームξの公平価格は、上側価格Y_0^* = sup_{θ∈Θ} E_{P_θ}[ξ]として与えられ、これは非線形BSDEの解に一致する。
• BSDEの解は、最悪の生成子を用いた場合の価値関数として特徴づけられるゼロサム確率微分ゲームにおけるサドルポイント戦略をもたらす。
• Girsanovの定理を適用して確率測度を変更し、元のブラウン運動およびデフォルトマルティンゲールが新しい測度下でブラウン運動およびマルティンゲールとして保存されるようにする。これにより、BSDEの構造が維持される。