[論文レビュー] BSVIEs with stochastic Lipschitz coefficients and applications in finance

Tianxiao Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的リプシッツ係数を有する後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）に対するM-解の存在および一意性を確立し、従来の決定的金利を仮定する必要があった先行研究を拡張する。この枠組みを応用して、確率的金利を許容する連続時間動的一貫性リスク測度を構築し、金融における時間不一致好みのモデル化をより一般的に、かつ先行研究よりも簡潔な証明で可能にする。

ABSTRACT

This paper is concerned with existence and uniqueness of M-solutions of backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs for short), which Lipschitz coefficients are allowed to be random, which generalize the results in [15]. Then a class of continuous time dynamic dynamic coherent risk measures is derived, allowing the riskless interest rate to be random, which is different from the case in [15].

研究の動機と目的

• リプシッツ係数を確率的なものに許容することで、後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）の理論を拡張し、従来の決定的係数を仮定する必要があった先行研究を一般化すること。
• 決定的金利を必要としない、確率的金利を許容する連続時間動的一貫性リスク測度の新規クラスを確立し、以前のモデルにおける主要な制限を克服すること。
• 既存の文献と比較して、確率的リプシッツ条件の下でのM-解の一意的可解性の証明をより簡潔にすること。
• 一般化されたBSVIEフレームワークを活用することで、時間不一致好みの下でもリスク測度の構成が有効であることを示すこと。

提案手法

• BSVIEの生成子に確率的リプシッツ条件を導入し、リプシッツ定数をフィルトレーションに適応する確率的関数として許容する。
• M-解を定義・分析し、解過程が適応的であり、ブラウン運動に関するストキャスティック積分を含む特定の積分表現を満たすことを保証する。
• 適切なヒルバート空間枠組みにおいて固定点法を用いて、確率的リプシッツ条件の下でのM-解の存在および一意性を証明する。
• BSVIEのM-解を用いて動的一貫性リスク測度を導出し、確率的金利関数を組み込み、確率的割引に対する平行移動不変性を満たす。
• BSVIEの構造を活用して、好みが時間不一致であっても一般化された意味で時間整合性を持つリスク測度をモデル化する。
• リプシッツ関数が決定的または経路に依存する（例：ウィーナー過程を含む）特別な場合を分析し、リスク測度が初期資産に依存する場合と依存しない場合を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リプシッツ係数が決定的ではなく確率的である場合に、BSVIEsに対するM-解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 リスクフリー金利が確率的である場合に、連続時間における動的一貫性リスク測度をどのように構築できるか？
• RQ3 提案されたフレームワークは、確率的係数のもとでも、一貫性リスク測度の主な性質（平行移動不変性、正homogeneity、劣加法性）を保持するか？
• RQ4 どのような場合にリスク測度は初期資産に依存し、どのような場合にその資産過程とは独立するか？
• RQ5 Yong（2007）のような先行手法と比較して、一意的可解性の証明を著しく短縮できるか？

主な発見

• 本稿は、リプシッツ定数が確率的かつ適応的過程である確率的リプシッツ条件の下で、BSVIEsに対するM-解の存在および一意性を証明する。
• Yong（2007）の証明と比較して、一意的可解性の証明が著しく簡潔であり、洗練された解析的手法を提供する。
• リスクフリー金利が確率的であることを許容する、連続時間動的一貫性リスク測度の新規クラスが導出され、従来の決定的金利を仮定するモデルを一般化する。
• リプシッツ関数が決定的である場合、リスク測度は既知の形に簡略化され、解は決定的となり、先行研究の結果が回復される。
• リプシッツ関数がウィーナー過程に依存する場合（例：sin(W(s))）、リスク測度は経路に依存し、一般に初期資産に依存するようになる。これは、リスク露出がポートフォリオ価値とは独立でないことを示唆する。
• 一般化された非線形生成子（例：Zに関して二次関数的）の場合、リスク測度の結果は初期資産過程に依存する。これは、リスク評価が単純な方法でポートフォリオ間で加法的でないことを示唆する。