[論文レビュー] BT_INHOM -- MATLAB routines for balanced truncation model reduction for systems with nonzero initial value

Schröder, Christian, Voigt, Matthias|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非ゼロ初期条件を有する線形時不変(LTI)システムのモデル順序低減のための新しいバランストレュネーション手法、jShiftBTを提案する。状態にシフト変換を導入することで、入力応答と初期条件応答の両方を同時にまたは別々に低減可能となり、ROM構築の前段階で計算可能な事前誤差境界を提供する。主な貢献は、既存手法を上回る数値実験において優れた性能を示す、効率的でパラメータ最適化された誤差境界である。

ABSTRACT

In standard balanced truncation model order reduction, the initial condition is typically ignored in the reduction procedure and is assumed to be zero instead. However, such a reduced-order model may be a bad approximation to the full-order system, if the initial condition is not zero. In the literature there are several attempts for modified reduction methods at the price of having no error bound or only a posteriori error bounds which are often too expensive to evaluate. In this work we propose a new balancing procedure that is based on a shift transformation on the state. We first derive a joint projection reduced-order model in which the part of the system depending only on the input and the one depending only on the initial value are reduced at once and we prove an a priori error bound. With this result at hand, we derive a separate projection procedure in which the two parts are reduced separately. This gives the freedom to choose different reduction orders for the different subsystems. Moreover, we discuss how the reduced-order models can be constructed in practice. Since the error bounds are parameter-dependent we show how they can be optimized efficiently. We conclude this paper by comparing our results with the ones from the literature by a series of numerical experiments.

研究の動機と目的

• 標準バランストレュネーションの限界を是正するため、非ゼロ初期条件を無視する問題に対処する。
• 入力応答と初期条件応答の両方を同時に考慮するモデル低減フレームワークを構築する。
• 三つのリャプノフ方程式の解に依存する、計算的に効率的で事前誤差境界を提供する。
• 入力と初期条件成分の異なる低減次数を許容することで、柔軟な低減を可能にする。
• 数値実験を通じて、提案手法が誤差ノルムとロバストネスの観点で既存手法を上回ることを示す。

提案手法

• 状態にシフト変換を導入し、システム応答を入力依存部と初期条件依存部に分離する。
• 両方の成分を同時に低減するための統合射影型低次元モデルを導出する。これにより、事前誤差境界を保証する。
• 誤差境界を $\|y - y_r\|_{\mathbb{L}_2} \leq 2(\eta_{r+1} + \cdots + \eta_n)(\|u\|_{\mathbb{L}_2} + \beta\|z_0\|_2)$ の形で確立する。ここで $\eta_i$ はハンケル特異値である。
• 入力と初期条件成分の低減次数を独立に設定できる別個の射影手順を導入する。
• 誤差境界を最小化するようにパラメータ $\beta$ を効率的に最適化し、さまざまな初期条件に対してロバストな性能を実現する。
• 三つのリャプノフ方程式の解を用いて低次元モデルを構築し、数値的安定性を向上させるためにスムージングフィルタを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ初期条件を考慮しつつ、事前誤差境界を保つバランストレュネーション手法を開発できるか？
• RQ2 統合射影アプローチと入力および初期条件応答の別個低減の比較において、誤差と計算コストの観点でどのように異なるか？
• RQ3 事後評価が高コストである場合でも、パラメータ $\beta$ のチューニングにより誤差境界を効率的に最適化できるか？
• RQ4 標準BT、TrlBT、AugBT、BT-BTといった既存手法と比較して、提案手法が $\mathbb{L}_2$ および $\mathbb{L}_\infty$ 誤差を低く抑えることができるか？
• RQ5 初期条件パラメータ $\beta$ の変化に対して、誤差境界と低次元モデルのロバストネスはどの程度か？

主な発見

• 例1では、jShiftBTが $\mathbb{L}_2$-誤差（1.1e+0）と $\mathbb{L}_\infty$-誤差（1.7e+0）を最低に抑え、標準BTおよび他の変種を上回った。
• 例2では、$\beta = 100$ のjShiftBTが $\mathbb{L}_2$-誤差3.6e+1を達成し、標準BT（2.3e+2）およびBT-BT（5.5e+1）を著しく下回った。
• 事前誤差境界はROM構築の前段階で計算可能であり、パラメータ依存性を有するため、誤差を最小化するための $\beta$ の効率的最適化が可能である。
• 統合射影法（jShiftBT）は、両例において一貫して他のすべての手法を上回り、特に全体の誤差ノルムを最小化する点で優れた性能を示した。
• 誤差境界は $\beta$ の変更に対してロバストであり、さまざまな値でも最小限の性能劣化が生じ、実用的利用における安定性を示した。
• 計算効率は三つのリャプノフ方程式の解法に依存しており、パラメータ最適化も比較的コストが低い。