[論文レビュー] BTZ black holes, WZW models and noncommutative geometry

Pierre Bieliavsky, Stéphane Detournay+2 more|ArXiv.org|Nov 7, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、SL(2,R) WZWモデルを通じて、2+1次元重力における非回転BTZブラックホールを弦理論的背景として調査し、その幾何学的構造が、ねじれ共役類によるfoliationによって巻き付きD1-braneを支持することを示している。可解なAN部分群上でRieffel型の厳密変形量子化を適用することで、非可換なローレンツ時空が構成され、その因果的構造は非自明である。これにより、BTZブラックホールの幾何学と非可換幾何学、弦理論の間の関係が確立される。

ABSTRACT

This note is based on a talk given by one of the authors (S. D.) at the "Rencontres Mathématiques de Glanon", held in Glanon in July 2004. We will first introduce the BTZ black hole, solution of Einstein's gravity in 2+1 dimensions, and emphasize some remarkable properties of its geometry. We will essentially pay attention to the non-rotating black hole, whose structure is significantly different to the generic case. We will then turn the some aspects of string theory, namely the emergence of non-commutative geometry and the embedding of the BTZ black hole as an exact string background using the Wess-Zumino-Witten (WZW) model. We will show the existence of winding symmetric WZW D1-branes in this space-time from the geometrical properties of the non-rotating black hole. Finally, we will introduce strict deformations of these spaces, yielding an example of non-commutative lorentzian non-compact space, with non-trivial causal structure.

研究の動機と目的

• 非回転BTZブラックホールの幾何的構造をAdS₃の商として探求すること。
• ねじれ共役類によるfoliationを用いて、BTZ時空における巻き付きD1-braneを特定すること。
• AN部分群におけるRieffelの方法を用いて、時空幾何の厳密変形量子化を構成すること。
• 弦理論的背景（WZWモデル）と非可換ローレンツ幾何学との間の関係を確立すること。

提案手法

• AdS₃をその双不変キリング計量を持つ群多様体SL(2,ℝ)として特定すること。
• SL(2,ℝ)の離散部分群によるAdS₃の商としてBTZブラックホールを分析し、幾何を保存すること。
• 2次元のねじれ共役類による時空のfoliationを特定し、それらがANに微分同相であることを示すこと。
• 左不変のスター積を用いて、AN上の関数代数へのRieffel型の厳密変形量子化を適用すること。
• スター積の核K[x,y,z]における位相関数Ψと振幅Bの明示的表現を導出すること。
• Iwasawa分解(K×A×N)を用いて群をパラメータ表示し、測度dμₓ = daₓ dnₓを定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(2,ℝ)におけるねじれ共役類は、BTZブラックホールにおけるD-brane配置とどのように関係するか。
• RQ2 非回転BTZブラックホールの幾何学は、一貫した非可換変形を支持できるか。
• RQ3 AN部分群は、BTZ時空の厳密変形量子化を可能にする役割を果たすか。
• RQ4 SL(2,ℝ)上のWZWモデルは、どのようにしてBTZブラックホールを正確な弦背景として実現するか。
• RQ5 AN上のスター積の構造は何か。また、それが非可換ローレンツ時空をどのように生じさせるか。

主な発見

• 非回転BTZブラックホールの幾何学は、可解群ANに微分同相であるねじれ共役類によるfoliationを許容する。
• このfoliationの各葉は、弦理論的BTZ背景における巻き付き対称D1-braneに対応する。
• AN部分群は各葉上で等長的に作用し、AN上の関数代数に対するRieffel型の厳密変形量子化を可能にする。
• 得られたスター積は、位相関数Ψ = sinh(a_y - a_x)n_z + sinh(a_z - a_y)n_x + sinh(a_x - a_z)n_yを有する明示的核を持つ。
• 振幅Bは、cosh(a_z - a_y)を含む関数のクラスと、P(0)=1を満たす正規化された偶関数Pからなる。
• この構成により、非可換的で非コンパクトであり、非自明な因果的構造を持つローレンツ時空が得られる。