[論文レビュー] Bubble tree of a class of conformal mappings and applications to Willmore functional

Jingyi Chen, Yuxiang Li|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、閉リーマン面への$W^{2,2}$分岐コンフォーマル埋め込みと、そのコンフォーマル構造が退化する場合のバブルツリーコンパクト性理論を確立し、測度損失やネック形成なしに収束することを証明する。この理論を応用して、コンパクトなリーマン多様体内のウィルモア型の表面の存在を示し、面積制約下でのウィルモア汎関数の最小化子や、ダグラス型条件を満たす滑らかな最小化子の存在を示す。

ABSTRACT

We develop a bubble tree construction and prove compactness results for $W^{2,2}$ branched conformal immersions of closed Riemann surfaces, with varying conformal structures whose limit may degenerate, in a compact Riemannian manifold with uniformly bounded areas and Willmore energies. The compactness property is applied to construct Willmore type surfaces in compact Riemannian manifolds. This includes (a) existence of a Willmore 2-sphere in ${\mathbb S}^n$ with at least 2 nonremovable singular points (b) existence of minimizers of the Willmore functional with prescribed area in a compact manifold $N$ provided (i) the area is small when genus is 0 and (ii) the area is close to that of the area minimizing surface of Schoen-Yau and Sacks-Uhlenbeck in the homotopy class of an incompressible map from a surface of positive genus to $N$ and $π_2(N)$ is trivial (c) existence of smooth minimizers of the Willmore functional if a Douglas type condition is satisfied.

研究の動機と目的

• 閉リーマン面への$W^{2,2}$分岐コンフォーマル埋め込みのバブルツリーコンパクト性枠組みを、変化する（場合によっては退化する）コンフォーマル構造を持つ場合に確立すること。
• 一様に有界なウィルモアエネルギーおよび面積を持つこのような埋め込みが、測度損失やネック形成なしにハウスドルフ距離で収束することを証明すること。
• このコンパクト性結果を応用して、コンパクトなリーマン多様体内にウィルモア型の表面を構成すること、特に面積制約下でのウィルモア汎関数の最小化子や、ダグラス型条件を満たす滑らかな最小化子を含むこと。
• コンフォーマル類がモジュライ空間の境界に収束する場合にも解析を拡張し、極限での位相的変化を許容すること。
• このような列の極限が、極限表面の成分からの分岐コンフォーマル写像と有限個の2次元球面からなるバブルツリー構造であることを示すこと。

提案手法

• 退化するコンフォーマル構造の正則部を介した微分同相写像によって、埋め込みを極限表面に引き戻し、バブルツリーを構築すること。
• 曲率項$K_f e^{2u}$の補償コンパクト性を用いて、コンフォーマル因子$u$の$L^∞$ノルムを制御し、$W^{2,2}$の境界を得ること。
• ウェンテの不等式と調和拡張技術を用いて、等温座標におけるコンフォーマル因子$u$の連続性を証明すること。
• バブル点およびコラール部におけるエネルギー集中を分析し、エネルギー集中と測度保存性によりネック形成がないことを証明すること。
• Rellich-Kondrachov埋め込み定理を用いて、エネルギー集中点を除く領域で$C^{\alpha}$（$0 < \alpha < 1$）における逐次収束を導出すること。
• 極限が、極限表面の成分からの分岐コンフォーマル埋め込みと有限個の2次元球面からなるユニオンであり、バブルツリー構造を形成することを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフォーマル構造がモジュライ空間内で退化する場合、$W^{2,2}$分岐コンフォーマル埋め込みの列に対してコンパクト性を確立できるか？
• RQ2 バブルツリー構成は、このような列の極限における測度損失やネック形成を防げるか？
• RQ3 コンパクトなリーマン多様体内で、面積制約下におけるウィルモア汎関数の最小化子の存在を、このコンパクト性結果を用いて証明できるか？
• RQ4 ウィルモア汎関数が滑らかな$W^{2,2}$分岐コンフォーマル埋め込みによって下限に達するための条件は何か？
• RQ5 コンフォーラル構造がモジュライ空間の境界に収束する場合、極限表面の位相的構造はどのようなものか？

主な発見

• 一様に有界なウィルモアエネルギーおよび面積を持つ$W^{2,2}$分岐コンフォーマル埋め込みの列の極限は、極限表面の成分からのコンフォーマル写像と有限個の2次元球面からなるバブルツリーであり、ネック形成は発生しない。
• 極限において測度損失はない：バブルツリーの総面積は、元の埋め込みの面積の極限に等しい。
• 面積が小さい場合、 genus 0 の表面に対して、コンパクトなリーマン多様体$N$内にウィルモア汎関数の最小化子が存在する。
• 正の genus を持つ表面に対しては、面積がホモトピー類内での面積最小化表面の面積に近い場合に最小化子が存在するが、これは$\pi_2(N)$が自明である場合に限る。
• ダグラス型条件が満たされれば、ウィルモア汎関数の滑らかな最小化子が存在し、最小化子のコンパクト性と正則性が保証される。
• $W^{2,2}_{\text{conf}}$埋め込みのコンフォーマル因子$u$は、ウェンテの不等式と調和拡張の議論により連続であることが示された。