[論文レビュー] Building 1D lattice models with $G$-graded fusion category

Shang-Qiang Ning, Bin-Bin Mao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2023

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$G$-graded unitary fusion categories ($\mathcal{C}_G$) を用いて、1次元量子格子模型の族を構築し、任意子鎖模型と2次元対称性保護トポロジカル（SPT）相の境界理論との間の補間を実現する。これらの模型は、低エネルギー物理学を強く制約する非従来的カテゴリ対称性を示し、異常なカテゴリ対称性によるギャップなし状態の可能性が数値的証拠で示唆されている。

ABSTRACT

We construct a family of one-dimensional (1D) quantum lattice models based on $G$-graded unitary fusion category $\mathcal{C}_G$. This family realize an interpolation between the anyon-chain models and edge models of 2D symmetry-protected topological states, and can be thought of as edge models of 2D symmetry-enriched topological states. The models display a set of unconventional global symmetries that are characterized by the input category $\mathcal{C}_G$. While spontaneous symmetry breaking is also possible, our numerical evidence shows that the category symmetry constrains the the models to the extent that the low-energy physics has a large likelihood to be gapless.

研究の動機と目的

• $G$-graded unitary fusion categories ($\mathcal{C}_G$) で記述される一般化された対称性を有する1次元量子格子模型を体系的に構築するフレームワークを構築すること。
• 1次元系におけるカテゴリ対称性とトポロジカルオーダーの相互作用を、特に2次元対称性拡張トポロジカル（SET）相の境界理論に関連して探求すること。
• 異常なカテゴリ対称性が1次元量子系の低エネルギー物理学にどのように制約を加えるかを調査し、特にギャップなし相の出現を明らかにすること。
• $\mathcal{C}_G$-対称模型と2+1次元トポロジカル相（SPTおよびSET状態を含む）の境界理論との間の関係を確立すること。

提案手法

• 構築は、$G$-graded unitary fusion category $\mathcal{C}_G$ から始める。ここで、対象は群要素 $g \in G$ でラベル付けされ、ファイブリング則はグレーディングを尊重する。
• ヒルベルト空間は、1次元格子上に定義され、局所的自由度は $\mathcal{C}_G$ の任意子でラベル付けされる。ファイブリング則は $F$-記号および量子次元に符号化される。
• カテゴリ対称性生成子 $U(y_h)$ と可換なハミルトニアンが導入され、これにより融合カテゴリの代数的構造に対する不変性が保証される。
• カテゴリ対称性は、格子上で作用するユニタリ演算子 $U(y_h)$ を通じて実装され、その対称性代数は $\mathcal{C}_G$ のファイブリング則から導かれる。
• 様々な $\mathcal{C}_G$ の例（$\mathbb{Z}_2$、イジング、タマラヤマ、$SU(2)_k$ カテゴリ）について、正確対角化を用いた数値的解析が行われる。
• 射影演算子 $B_p$ のトレースがヒルベルト空間内で厳密に1に等しいことが解析的に証明され、カテゴリ対称性代数の整合性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-graded融合カテゴリで記述される一般化された対称性を有する1次元量子格子模型を、どのように体系的に構築できるか。
• RQ2 1次元系における異常なカテゴリ対称性の低エネルギー的影響は何か。特にギャップなし状態または自発的対称性破れの有無について。
• RQ3 $\mathcal{C}_G$-対称模型が、2+1次元対称性拡張トポロジカル相の境界理論をどの程度実現するか。
• RQ4 カテゴリ対称性が代数的に、ギャップあり相よりもギャップなしCFTを優遇するように系を制約できるか。
• RQ5 異なるファイブリングカテゴリ（$\mathbb{Z}_2$、イジング、タマラヤマ、$SU(2)_k$）が、模型の相構造にどのように現れるか。

主な発見

• 構築された1次元格子模型は、任意子鎖模型と2次元SPT相の境界理論との間の補間を実現し、$\mathcal{C}_G$ 対称性が一般化されたグローバル対称性として機能する。
• 数値的結果から、$\kappa = 1$ および $\kappa = -1$ の場合、模型はギャップなし低エネルギー物理学を示し、 conformal field theories と整合的である。
• カテゴリ対称性は系を強く制約しており、ギャップありで非 degenerate な基底状態が存在する可能性は低く、ギャップなしまたはトポロジカルオーダーを持つ相が優位である。
• 射影演算子 $B_p$ のトレースが厳密に1に等しいことが証明され、ヒルベルト空間内でのカテゴリ対称性代数の整合性が確認された。
• $G = \mathbb{Z}_2$ の $\mathcal{C}_G$ に対して、模型は非自明な3次コホモロジー異常を持つボソン的SPT相の境界理論を実現する。
• 模型は異常なカテゴリ対称性を示し、これは対称的でギャップありで非 degenerate な基底状態の存在を不可能にする。これは 't Hooft異常制約と整合的である。