[論文レビュー] Building Cantor's Bijection

Samuel Nicolay, Laurent Simons|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2014

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シュレーディンガー＝ベルンシュタインの定理を用いて、カントールの元々の非全射な小数に基づく写像を修正することで、単位正方形 [0,1]² と単位区間 [0,1] の間の全単射を構築する。カントールの関数 𝒞 は、小数展開の非一意性のため全射でないが、著者らは f* と呼ばれる新たな全単射を定義し、f* はほとんど everywhere で 𝒞 と一致するが、可測ゼロ集合上で反復的な埋め込みに基づく修正によってその欠険を是正し、正方形と区間の間の完全な全単射対応を実現する。

ABSTRACT

Cantor's first idea to build a one-to-one mapping from the unit interval to the unit square did not work since, as pointed out by Dedekind, the so-obtained function is not surjective. Here, we start from this function and modify it (on a negligible set) in order to obtain the desired result: a one-to-one correspondance between the unit interval and the unit square.

研究の動機と目的

• カントールが小数の入れ子構造を用いて [0,1]² と [0,1] の間の全単射を構成しようとしたが、失敗した元の試みを解消すること。
• カントールの小数に基づく関数 𝒞 が非正しく小数展開を持つために全射でないというデデキントの批判に対処すること。
• シュレーディンガー＝ベルンシュタインの定理を用いて、単位正方形から単位区間への完全な全単射写像を構成すること。
• 構成的かつ明示的な全単射を提供し、元の関数の非全射性を無視できる集合上で是正しつつ、ほとんど everywhere でその構造を保つこと。

提案手法

• x と y の適切な小数展開の入れ子構造に基づいて、[0,1]² → [0,1] への単射 f を定義し、境界点（x=1 または y=1）の取り扱いに特別な注意を払う。
• g(t) = (t, 0) を用いて、[0,1] → [0,1]² への逆単射 g を定義し、単射性を保証する。
• シュレーディンガー＝ベルンシュタインの定理を適用するため、A₀ = [0,1]×(0,1] および B₀ = f(A₀) を初期値として、[0,1]² と [0,1] の部分集合の列 (Aₙ) と (Bₙ) を構成する。
• n ≥ 1 に対して、逐次的に Aₙ = g(Bₙ₋₁) および Bₙ = f(Aₙ) を定義し、単射の像の鎖を捉える。
• 最終的な全単射 f* を、(x,y) ∈ ⋃ₙ Aₙ ならば f*(x,y) = f(x,y)、それ以外は f*(x,y) = x と定義することで構成し、全単射性を保証する。
• f* と f の差が生じる集合が [0,1]×{0} に含まれることを証明し、これは ℝ² におけるルベーグ可測ゼロ集合である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カントールの元々の小数に基づく入れ子構造関数を、[0,1]² と [0,1] の間の真の全単射に修正できるか？
• RQ2 なぜカントールの初期関数は全射でないのか？ そして、その失敗はどのように体系的に是正できるか？
• RQ3 シュレーディンガー＝ベルンシュタインの定理を構成的に応用し、片方の単射が全射でない場合でも、明示的な全単射を構築できるか？
• RQ4 修正された全単射が元の小数入れ子構造関数と異なる集合の測度論的サイズはどの程度か？
• RQ5 修正集合の構造は、小数展開のパターンを用いてどのように明示的に特徴付けられるか？

主な発見

• f*(x,y) = f(x,y) if (x,y) ∈ ⋃ₙ Aₙ かつ f*(x,y) = x それ以外の場合に定義される関数 f* は、[0,1]² から [0,1] への適切に定義された全単射である。
• f* と元の関数 𝒞 が異なる集合は [0,1]×{0} に含まれており、これは ℝ² におけるルベーグ測度ゼロであるため、f* = 𝒞 almost everywhere が成り立つ。
• この構成により、修正集合が明示的に特定され、それは Aₙ に属さない点 (x,y) であり、正確には y=0 かつ x が g による任意の Bₙ の像に属さない点である。
• 列 (Aₙ) と (Bₙ) は、f と g の反復的適用により厳密に定義され、Aₙ = g(Bₙ₋₁) および Bₙ = f(Aₙ) と表され、集合の下降鎖を形成する。
• 全単射 f* は、f による ⋃ₙ Aₙ 上の全単射像と、g⁻¹ による補集合上の全単射像を組み合わせることで、シュレーディンガー＝ベルンシュタインの定理の条件を満たし、単射かつ全射である。
• 最終的な写像 f* は、カントールの小数入れ子構造の直感的構造を保ちつつ、可測ゼロ集合上で最小限かつ明確に特徴付けられた修正によって、非全射性を是正する。