[論文レビュー] Bulk Geometry of the Many Body Localized Phase from Wilson-Wegner Flow

Xiongjie Yu, David Pekker+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Quantum many-body systems被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ウィルソン＝ウェグナー縮約群フロー（TWWF）をテンソルネットワークとして実装し、多体局在化（MBL）ハミルトニアンを対角化するユニタリテンソルネットワーク（UTN）を構築する。UTNの顕在的ボトムジオメトリは、深さに伴い円周が指数関数的に縮小しており、空間的に遠く離れた点が接続されなくなる「破れたイベントホライズン」の図像を支持している。光円錐は対数的に広がり、局在的ダイナミクスを示している。

ABSTRACT

Tensor networks are a powerful formalism for transforming one set of degrees of freedom to another. They have been heavily used in analyzing the geometry of bulk/boundary correspondence in conformal field theories. Here we develop a tensor-network version of the Wilson-Wegner Renormalization Group Flow equations to efficiently generate a unitary tensor network which diagonalizes many-body localized Hamiltonians. Treating this unitary tensor network as a bulk geometry, we find this emergent geometry corresponds to the shredded horizon picture: the circumference of the network shrinks exponentially with distance into the bulk, with spatially distant points being largely disconnected.

研究の動機と目的

• 多体局在化ハミルトニアンを対角化する数値的に効率的なテンソルネットワーク手法を開発すること。
• ウィルソン＝ウェグナーフローから導かれるユニタリテンソルネットワークを用いてMBL相をボトムジオメトリにマップすること。
• 特にその空間的接続性とオペレータの伝播に関して、顕在的ボトムジオメトリの幾何的構造を調査すること。
• ホログラフィック系やエルゴディック相と比較して、MBL相の幾何的特徴を明らかにすること。

提案手法

• テンソル・ウィルソン＝ウェグナー・フロー（TWWF）は、縮約群フローのパrameter βに沿った無限小ユニタリ変換のスタックとして実装され、行列積演算子として表現される。
• 各変換 dU(β) は、ハミルトニアンを段階的に対角化し、lビット（τᶻ）をユニタリ発展によってpビット（σᶻ）に変換する。
• 全ユニタリテンソルネットワーク U(β) は、これらの無限小フローの合成により構築され、βが径方向の深さに対応するボトムジオメトリを形成する。
• ジオメトリは、テンソルの結合次元とネットワーク内でのオペレータ伝播レートの測定によって調べられる。
• 光円錐の衝突は、βの関数として変化するオペレータ σˣₖσˣ₂₃ の結合次元を追跡することで分析される。
• ネットワークの円周はβの関数として測定され、MBL相では指数的減衰が観測される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリテンソルネットワークがウィルソン＝ウェグナーフローから導かれる過程で、MBL相のボトムジオメトリはどのように顕在するか？
• RQ2 MBL相における顕在的ボトムジオメトリの空間的接続性構造は何か？また、エルゴディック系やホログラフィック系とはどのように異なるか？
• RQ3 量子オペレータはボトムジオメトリ内をどのように伝播するか？その光円錐のスケーリングはいかなるものか？
• RQ4 MBLからエルゴディックへの遷移に伴い、lビットの対角化レートはどのように変化するか？

主な発見

• ユニタリテンソルネットワークの円周は、縮約群フローのパrameter βが増加するにつれて指数関数的に縮小し、MBL相における破れたイベントホライズンのジオメトリを示している。
• ボトムジオメトリ内を伝播するオペレータのレートは、対数的光円錐広がりに従い、多体局在化と整合的である。
• 空間的に分離したオペレータからの光円錐は、β ∝ log(d) で衝突する。ここでdは初期分離距離である。これは、遅い局在的ダイナミクスを確認するものである。
• MBL相では、lビットはユニタリフローの深さに対して指数関数的レートで対角化されるが、エルゴディック相では大きなβでのみ対角化が観測される。
• ユニタリフローの結合次元は、系サイズの増加に伴いゆっくりと増加するため、MBLスペクトルの変分的対角化が可能であることが示唆される。
• 異なる不純度実現においてもボトムジオメトリは安定しており、複数の系サイズ（L=16,32）で円周の指数的減衰が観測された。