[論文レビュー] Bumpless Pipedreams, Reduced Word Tableaux and Stanley Symmetric Functions

Neil J. Y. Fan, Peter L. Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、置換 $w$ に対して、縮小語のテーブルックスとEGパイプラインドリームの間の形状を保つ双対写像を構成し、Lam, Lee, および Shimozono が提起した問題を解決する。修正された Lascoux-Sch"utzenberger 樹と Edelman-Greene 樹構造、および Little 写像と Edelman-Greene 埋め込みを用いて、テーブルックスの形状と組合せ的構造を保つ直接的な対応関係を確立する。

ABSTRACT

Lam, Lee and Shimozono introduced the structure of bumpless pipedreams in their study of back stable Schubert calculus. They found that a specific family of bumpless pipedreams, called EG-pipedreams, can be used to interpret the Edelman-Greene coefficients appearing in the expansion of a Stanley symmetric function in the basis of Schur functions. It is well known that the Edelman-Greene coefficients can also be interpreted in terms of reduced word tableaux for permutations. Lam, Lee and Shimozono proposed the problem of finding a shape preserving bijection between reduced word tableaux for a permutation $w$ and EG-pipedreams of $w$. In this paper, we construct such a bijection. The key ingredients are two new developed isomorphic tree structures associated to $w$: the modified Lascoux-Schützenberger tree of $w$ and the Edelman-Greene tree of $w$. Using the Little map, we show that the leaves in the modified Lascoux-Schützenberger of $w$ are in bijection with the reduced word tableaux for $w$. On the other hand, applying the droop operation on bumpless pipedreams also introduced by Lam, Lee and Shimozono, we show that the leaves in the Edelman-Greene tree of $w$ are in bijection with the EG-pipedreams of $w$. This allows us to establish a shape preserving one-to-one correspondence between reduced word tableaux for $w$ and EG-pipedreams of $w$.

研究の動機と目的

• 置換 $w$ に対して、縮小語のテーブルックスとEGパイプラインドリームの間の直接的で形状を保つ双対写像を構築するという未解決問題を解決すること。
• 一般的遷移関係に基づいた、新しい組合せ的構造—修正された Lascoux-Sch"utzenberger 樹と Edelman-Greene 樹—を考案すること。
• Little 写像を用いて、修正された LS-ツリーの葉が縮小語のテーブルックスに一対一対応することを確立すること。
• ドロップ操作を用いてバッフルレスパイプラインドリームに適用した結果得られる Edelman-Greene 樹の葉が、$w$ のEGパイプラインドリームに一対一対応することを示すこと。
• 形状と組合せ的型を保つ、構成的かつ可逆な写像を縮小語のテーブルックスとEGパイプラインドリームの間で定義すること。

提案手法

• 置換 $w$ の修正された Lascoux-Sch"utzenberger 樹（修正LS-ツリー）を導入し、その子は一般（最大でない）遷移を用いて生成される。
• Little 写像を用いて、修正LS-ツリーの各葉を $w$ の縮小語のテーブルックスに結びつけ、形状の保存を保証する。
• Rothe パイプラインドリームから出発し、バッフルレスパイプラインドリームにドロップ操作を適用することで、$w$ の Edelman-Greene 樹（EG-ツリー）を構築する。
• ドロップ操作がすべてのEGパイプラインドリームを生成できることを用いて、EG-ツリーの葉が $w$ のEGパイプラインドリームと双対写像であることを示す。
• 列読み取り語と逆 $\theta$-操作から得られる置換の経路を用いて、縮小語のテーブルックスからEGパイプラインドリームへの写像 $\Gamma$ を定義する。
• パイプラインドリームのNWのへこみ部分の逆順語にEdelman-Greene埋め込みを適用することで、EGパイプラインドリームから縮小語のテーブルックスへの逆写像 $\widetilde{\Gamma}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた置換 $w$ に対して、縮小語のテーブルックスとEGパイプラインドリームの間の直接的で形状を保つ双対写像は存在するか？
• RQ2 修正された Lascoux-Sch"utzenberger 樹は、Little 写像を用いて $w$ の縮小語のテーブルックスをパrametrizeできるか？
• RQ3 $w$ のEGパイプラインドリームは、バッフルレスパイプラインドリームにドロップ操作を適用して構築されたツリーの葉として生成できるか？
• RQ4 修正された LS-ツリーと EG-ツリーの間の対応関係は、対応するテーブルックスとパイプラインドリームの形状を保っているか？
• RQ5 挿入アルゴリズムと逆遷移写像を用いて、双対写像の逆写像を明示的に構成できるか？

主な発見

• 著者らは、任意の置換 $w$ に対して、縮小語のテーブルックスとEGパイプラインドリームの間の形状を保つ双対写像 $\Gamma$ を構成し、Lam, Lee, および Shimozono の問題1.1を解決した。
• 置換 $w$ の修正された Lascoux-Sch"utzenberger 樹の葉は、$w$ の縮小語のテーブルックスと双対写像であり、Little 写像がその対応を提供する。
• 置換 $w$ の Edelman-Greene 樹の葉は、$w$ のEGパイプラインドリームと双対写像であり、バッフルレスパイプラインドリームにドロップ操作を適用することで構築される。
• 写像 $\Gamma$ は可逆であり、その逆写像 $\widetilde{\Gamma}$ はパイプラインドリームのNWのへこみ部分の逆順語にEdelman-Greene埋め込みを適用することで構成される。
• この構成により、縮小語のテーブルックスの形状が対応するEGパイプラインドリームの形状と一致し、組合せ的構造が保たれる。
• 修正された LS-ツリーは、古典的 LS-ツリーとは異なり、置換のサイズの増大を回避するため、Stanley対称関数の展開に対してより制御しやすい。