[論文レビュー] Bundle-based pruning in the max-plus curse of dimensionality free method

Stéphane Gaubert, Zheng Qu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大プラス法における次元の呪いを回避する最適制御手法において、凸最適化を用いて重要度指標を計算することで、基底関数を効率的に刈り込むためのバンドル法を提案する。この手法は、基底関数の数に対して線形の計算スケーリングを達成し、量子ゲート合成問題における数値実験で、標準的な内点法ソルバーを著しく上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Recently a new class of techniques termed the max-plus curse of dimensionality-free methods have been developed to solve nonlinear optimal control problems. In these methods the discretization in state space is avoided by using a max-plus basis expansion of the value function. This requires storing only the coefficients of the basis functions used for representation. However, the number of basis functions grows exponentially with respect to the number of time steps of propagation to the time horizon of the control problem. This so called "curse of complexity" can be managed by applying a pruning procedure which selects the subset of basis functions that contribute most to the approximation of the value function. The pruning procedures described thus far in the literature rely on the solution of a sequence of high dimensional optimization problems which can become computationally expensive. In this paper we show that if the max-plus basis functions are linear and the region of interest in state space is convex, the pruning problem can be efficiently solved by the bundle method. This approach combining the bundle method and semidefinite formulations is applied to the quantum gate synthesis problem, in which the state space is the special unitary group (which is non-convex). This is based on the observation that the convexification of the unitary group leads to an exact relaxation. The results are studied and validated via examples.

研究の動機と目的

• 時間ステップの増加に伴い基底関数の数が指数関数的に増加する、最大プラス法における「複雑さの呪い」に対処すること。
• 現在、多数の大規模な半定値計画問題を解くことで重要度指標を計算しているが、その計算コストを低減すること。
• 高次元設定における重要度指標計算のための一般向け凸最適化ソルバー（例：CVX/SDPT3）の代替としてスケーラブルな手法を開発すること。
• 状態空間が非凸的（例：ユニタリ群）であるような、量子ゲート合成のような複雑な問題への最大プラス法の実用的応用を可能にすること。

提案手法

• 基底関数が線形で状態空間が凸であることを活かし、バンドル法（非内点法の凸最適化手法）を用いて最大プラス法における基底関数の刈り込みに必要な重要度指標を計算する。
• 基底関数の線形性と状態空間の凸性を活かして、刈り込み問題をバンドル法で解ける凸最適化問題に再定式化する。
• 重要度指標を行列値関数の内積に関する最大最小問題として表現するため、半定値計画法の定式化を用いる。
• 特殊ユニタリ群SU(n)を行列の単位球に凸化し、量子ゲート合成問題においてそれが正確な緩和であることを証明する。
• パラメータμ=0.5、ε=1e-8、γ=0.5としてアルゴリズム1をバンドル法で実装し、ベンチマーク例に対してCVX/SDPT3と性能を比較する。
• 近似関数φβが真の目的関数φに一様収束することと、コンパクト性の議論（Arzelà-Ascoli）を用いて、ユニタリ最適解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底関数が線形で状態空間が凸である場合、バンドル法は最大プラス基底関数法における重要度指標計算に有効に適用可能か？
• RQ2 大規模な刈り込み問題において、標準的な内点法ソルバー（例：CVX/SDPT3）と比較して、バンドル法は顕著に優れた計算スケーリングを達成するか？
• RQ3 ユニタリ群SU(n)の凸化は、量子ゲート合成問題に対して有効な緩和であるか？特に最適解がユニタリのまま保たれるか？
• RQ4 バンドル法の反復回数は基底関数の数にどのように依存するか？実用的な計算時間に影響を与えるか？

主な発見

• バンドル法は基底関数の数mに対してほぼ線形の計算時間で実行される一方で、内点法ソルバーはO(m^3.5)のスケーリングを示す。
• バンドル法における反復回数K₀はmに依存せず安定しており、計算コストの緩やかな増加を説明する。
• 全テスト対象mにおいて、バンドル法が算出した最適値とCVXとの差は5e-8未満であり、高い数値的精度を示している。
• SU(n)を単位球に凸化した結果、定理IV.1により正確な緩和であることが証明され、ユニタリ最適解の存在が保証される。
• 図1の数値結果では、mが100を超えるとバンドル法が内点法（CVX/SDPT3）に比べて著しく高速であることが示されている。
• バンドル法は高精度かつ安定性を維持しており、双対ギャップおよび解の差が1e-8のオーダーであり、標準的ソルバーと同等の性能を示している。