[論文レビュー] Bundles of C*-categories and duality

Ezio Vasselli|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、連続的C*-代数バンドルのカテゴリカルな類似物として、連続的C*-カテゴリのバンドルを導入し、共役を備えた対称的テンソルC*-カテゴリが、単位対象の自己準同型代数のスペクトル上に連続的バンドル構造を自然に持つことを確立する。主な貢献は、特殊なテンソルC*-カテゴリ——コンパクトLie群の双対と同型なファイバーを持つ局所的に自明なバンドル——を、あるコホモロジー集合によって完全に分類することであり、これはCuntz代数の固定点代数をファイバーとするC*-代数バンドルの分類に翻訳される。

ABSTRACT

We introduce the notions of multiplier C*-category and continuous bundle of C*-categories, as the categorical analogues of the corresponding C*-algebraic notions. Every symmetric tensor C*-category with conjugates is a continuous bundle of C*-categories, with base space the spectrum of the C*-algebra associated with the identity object. We classify tensor C*-categories with fibre the dual of a compact Lie group in terms of suitable principal bundles. This also provides a classification for certain C*-algebra bundles, with fibres fixed-point algebras of O_d.

研究の動機と目的

• 連続的C*-カテゴリバンドルのカテゴリカルな枠組みを構築し、連続的場や乗法的代数のC*-代数的概念を一般化すること。
• 共役を備えた対称的テンソルC*-カテゴリが、単位対象の自己準同型代数のスペクトル上に自然に連続的バンドル構造を持つことの証明。
• ファイバーがコンパクトLie群Gの双対と同型である局所的に自明なバンドルである特殊なテンソルC*-カテゴリ——を、適切なコホモロジー集合を用いて分類すること。
• この分類を、Cuntz代数の固定点代数をファイバーとする連続的C*-代数バンドルに関する結果に翻訳すること。
• 非単純な単位対象の設定における一般化された双対理論の基盤を築くこと。ここでは双対対象がコンパクト群または群ガロアのバンドルである可能性がある。

提案手法

• C₀(X)-カテゴリおよび乗法的C*-カテゴリの概念を導入し、C₀(X)-代数および乗法的代数のカテゴリカルな類似物とする。
• 任意のテンソルC*-カテゴリが、単位対象の自己準同型代数のスペクトルX^νに対応するC(X^ν)-カテゴリ構造を自然に持つことを証明する。
• 特殊カテゴリを、ファイバーがコンパクトLie群Gの双対と同型である局所的に自明な対称的テンソルC*-カテゴリとして定義し、その分類を第一コホモロジー集合H¹(X, QG)を用いて行う。ここでQGはGの双対カテゴリの自己同型群である。
• ねじれ付き特殊対象および関連する自己準同型の概念を用いて、C*-代数バンドルを交叉積として構成する。特に、∇_{d,ν} → (C(X) ⋊_ν ∇_ν) ⋊_θ ∇_ν が成り立つことを示す。ここで∇_νは群バンドルである。
• 関連するラインバンドルの第一チエーン類を用いて、特殊カテゴリの同型類とH²(X, ∇_ν)のコホモロジー類との間の対応を確立する。
• C*-代数∇_{d,ν}が、(C(X) ⋊_ν ∇_ν) ⋊_θ ∇_νと同型であることを示し、Cuntz代数の構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数からC*-カテゴリへの連続的バンドルの概念をどのように一般化できるか。また、乗法的代数やC₀(X)-代数のカテゴリカルな類似物は何か。
• RQ2 対称的テンソルC*-カテゴリが非単純な単位対象（すなわち、(ν,ν)がℂに同型でない）を持つ場合、どのような構造が現れ、コンパクト群のバンドルとどのように関係するか。
• RQ3 ファイバーがコンパクトLie群Gの双対と同型である特殊なテンソルC*-カテゴリ——局所的に自明なバンドル——を、コホモロジー不変量を用いて完全に分類することは可能か。
• RQ4 このようなカテゴリの分類が、Cuntz代数の固定点代数をファイバーとする連続的C*-代数バンドルの分類にどのように翻訳されるか。
• RQ5 この一般化された双対理論枠組みにおいて、埋め込み関手や双対群ガロア対象の存在および一意性の幾何学的およびコホモロジー的障害は何か。

主な発見

• 共役を備えた対称的テンソルC*-カテゴリは、すべて、単位対象の自己準同型代数のスペクトルX^ν上に連続的C*-カテゴリバンドルとして実現され、ファイバーはコンパクト群の双対と同型である。
• 特殊なテンソルC*-カテゴリ——ファイバーがコンパクトLie群Gの双対と同型である局所的に自明なバンドル——は、第一コホモロジー集合H¹(X, QG)によって完全に分類され、ここでQGは双対カテゴリĜの自己同型群である。
• G = SU(d)の場合、このようなカテゴリの分類はH²(X, ℤ)によってラベル付けされ、2次元球面S²はH²(S², ℤ) ≃ ℤを満たす具体的な例であり、同型類は整数によってインデックスされる。
• 関連するC*-代数バンドル𝒪_{d,ζ}は、(C(X) ⊗ 𝒪_{𝒰(d)}) ⋊_φ^{ℒ(ζ)} ℕと同型である。ここでℒ(ζ)は第一チエーン類ζを持つラインバンドルであり、φは階数付き自己準同型である。
• DR代数𝒪_{d,ζ}は、固定点代数𝒪_ε ≃ C(X) ⊗ 𝒪_{𝒰(d)}と、ℒ(ζ)の断面のモジュール𝒱から生成され、(3.17)で定義された自己準同型νによって代数的構造が符号化されている。
• 非単純な単位対象の場合における双対対象（例：群バンドルや群ガロア）の存在および非一意性は、コホモロジー的起源であることが示され、障害はH¹(X, QG)に符号化されている。