[論文レビュー] Busemann functions and barrier functions

Xiaojun Cui, Jian Cheng|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかで、完全で、非コンパクトなリーマン多様体上で、Busemann関数がハミルトン・ジャコビ方程式 |∇u|_g = 1 の粘性解であることを確立し、これが局所的に線形モジュラスをもつ擬凸性を意味することを示している。さらに、Mather理論の類似としてのバリア関数を導入し、それらを用いて測地線を部分順序によって分類し、それらの構造を水平関数とdl関数を通じて理想境界と結びつけている。

ABSTRACT

We show that Busemann functions on a smooth, non-compact, complete, boundaryless, connected Riemannian manifold are viscosity solutions with respect to the Hamilton-Jacobi equation determined by the Riemannian metric and consequently they are locally semi-concave with linear modulus. We also analysis the structure of singularity sets of Busemann functions. Moreover we study barrier functions, which are analogues to Mather's barrier functions in Mather theory, and provide some fundamental properties. Based on barrier functions, we could define some relations on the set of lines and thus classify them. We also discuss some initial relations with the ideal boundary of the Riemannian manifold.

研究の動機と目的

• 曲率の仮定なしに、一般のリーマン多様体上でのBusemann関数の粘性解性を確立すること。
• Busemann関数の特異点集合を解析し、それらの幾何的意味を明らかにすること。
• ラグランジュ力学におけるMatherのバリア関数の類似としてのバリア関数を導入し、それらを研究すること。
• バリア関数を用いて測地線の集合に部分順序を定義し、その幾何的分類を検討すること。
• 水平関数とdl関数を通じて、Busemann関数およびバリア関数の構造と多様体の理想境界との関係を明らかにすること。

提案手法

• 距離関数の極限としてのBusemann関数の定義を使用する：b_γ(x) = lim_{t→∞} [d(x,γ(t)) − t]。
• 距離関数との比較を用いて、Busemann関数が粘性意味でハミルトン・ジャコビ方程式 |∇u|_g = 1 を満たすことを証明する。
• 粘性解の理論を適用し、線形モジュラスをもつ局所的擬凸性を導出する。
• バリア関数B_γ(x)を、xからγへの各射線に沿ったb_γの下界として定義し、それらを用いて測地線γ′ ≺ γの関係を定義する。
• 関係γ′ ≺ γを用いて測地線の集合に部分順序を構成し、pseudodistance d_γ(γ₁,γ₂) = B_γ₁(γ₂(0)) + B_γ₂(γ₁(0)) を定義する。
• 水平関数とdl関数へ結果を拡張し、それらが同様に粘性方程式を満たし、擬凸的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の完全で非コンパクトなリーマン多様体上において、Busemann関数はハミルトン・ジャコビ方程式 |∇u|_g = 1 の粘性解であるか？
• RQ2 Busemann関数の特異点集合の構造は何か？ そして、多様体の幾何とどのように関係しているか？
• RQ3 バリア関数を用いて、リーマン多様体上の測地線に意味のある分類や順序付けが可能か？
• RQ4 Busemann関数とバリア関数は、水平関数とdl関数を通じて、多様体の理想境界とどのように関係しているか？
• RQ5 すべての |∇u|_g = 1 の粘性解は、必然的にdl関数であるか？

主な発見

• 滑らかで、完全で、境界のない、連結な非コンパクトなリーマン多様体上での任意のBusemann関数は、ハミルトン・ジャコビ方程式 |∇u|_g = 1 の粘性解である。
• その結果、曲率条件に依存せず、すべてのBusemann関数は線形モジュラスをもつ局所的擬凸性を有する。
• Busemann関数の特異点集合は、関連する射線のカットリッジに含まれており、その構造は共役点または焦点点の存在と関連している。
• バリア関数B_γ(x)は適切に定義され、有限であり、B_γ(x) = inf_{γ′} b_γ(γ′(0)) を満たす。ここで、xからγへのすべての共射線γ′について最小値をとる。
• バリア関数を用いて定義された関係γ′ ≺ γは推移的であり、測地線の集合に部分順序を定義し、測地線の分類を可能にする。
• pseudodistance d_γ(γ₁,γ₂) = B_γ₁(γ₂(0)) + B_γ₂(γ₁(0)) は、γ₁ ∼ γ₂（すなわち、部分順序によって生成される同値関係のもとで同値）である場合にかつその場合にのみ消える。