[論文レビュー] Butterfly velocity and bulk causal structure

Xiao-Liang Qi, Yang Zhao|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、もともと熱的状態で定義されていたバタフライ速度を、ホログラフィック系における任意のコード部分空間へ一般化し、エンタングルメントウェッジ再構成を通じて境界バタフライ速度と内部因果的構造の正確な双対性を確立する。アインシュタイン幾何におけるエネルギー条件を満たす場合、深さの増す内部オペレーターは遅いバタフライ速度を持つことが示され、因果的ウェッジとエンタングルメントウェッジが一致する場合にはバタフライ速度が光速に等しくなることが証明される。

ABSTRACT

The butterfly velocity was recently proposed as a characteristic velocity of chaos propagation in a local system. Compared to the Lieb-Robinson velocity that bounds the propagation speed of all perturbations, the butterfly velocity, studied in thermal ensembles, is an "effective" Lieb-Robinson velocity for a subspace of the Hilbert space defined by the microcanonical ensemble. In this paper, we generalize the concept of butterfly velocity beyond the thermal case to a large class of other subspaces. Based on holographic duality, we consider the code subspace of low energy excitations on a classical background geometry. Using local reconstruction of bulk operators, we prove a general relation between the boundary butterfly velocities (of different operators) and the bulk causal structure. Our result has implications in both directions of the bulk-boundary correspondence. Starting from a boundary theory with a given Lieb-Robinson velocity, our result determines an upper bound of the bulk light cone starting from a given point. Starting from a bulk space-time geometry, the butterfly velocity can be explicitly calculated for all operators that are the local reconstructions of bulk local operators. If the bulk geometry satisfies Einstein equation and the null energy condition, for rotation symmetric geometries we prove that infrared operators always have a slower butterfly velocity that the ultraviolet one. For asymptotic AdS geometries, this also implies that the butterfly velocities of all operators are upper bounded by the speed of light. We further prove that the butterfly velocity is equal to the speed of light if the causal wedge of the boundary region coincides with its entanglement wedge. Finally, we discuss the implication of our result to geometries that are not asymptotically AdS, and in particular, obtain constraints that must be satisfied by a dual theory of flat space gravity.

研究の動機と目的

• ホログラフィックCFTにおける一般コード部分空間へ、バタフライ速度の概念を熱的集合から拡張すること。
• 古典的内部幾何における境界バタフライ速度と内部因果的構造の直接的対応関係を確立すること。
• ホログラフィック系においてバタフライ速度が光速に達する条件を特定すること。
• 非AdS幾何（平坦空間重力を含む）における双対場理論に課される制約を導出すること。
• ローテーション対称でアインシュタイン幾何を満たし、エネルギー条件を満たす空間において、バタフライ速度が内部深さとともに単調に減少することを証明すること。

提案手法

• ホログラフィー双対性を用い、古典的幾何上の低エネルギー励起（コード部分空間内の境界オペレーター）を局所的再構成により内部オペレーターに対応付ける。
• エンタングルメントウェッジ再構成を適用し、境界オペレーターのバタフライ速度とその対応する内部オペレーターの因果的構造との関係を明示する。
• 漸近的にAdSおよび平坦空間幾何における極小表面解析を用いて、エンタングルメントと因果的ホライズンの時間発展を計算する。
• 境界領域の拡大量と時間遅れの比としてバタフライ速度を導出し、$ v = \frac{\Lambda \Delta\Theta}{\Delta t} $ を用いる。平坦空間では$ c\Delta t = \Lambda \sin\Theta \Delta\Theta $ が成り立つ。
• 因果的表面$ \chi_{A_{u\tau}} $ とエンタングルメント表面$ \gamma_{A_{u\tau}} $ を幾何的に比較することで、因果的ウェッジとエンタングルメントウェッジが一致する場合にバタフライ速度が$ c $に等しくなることを証明する。
• テンソルネットワークの直観と量子誤り訂正の原則を用いて、再構成と速度の上限の堅牢性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的幾何における境界オペレーターのバタフライ速度は、その対応する内部オペレーターの因果的構造とどのように関係するか？
• RQ2 境界オペレーターのバタフライ速度が光速に等しくなる条件は何か？
• RQ3 回転対称でアインシュタイン幾何を満たす時空において、内部オペレーターの径方向深さに応じてバタフライ速度はどのように変化するか？
• RQ4 平坦空間などの非漸近的AdS幾何において、内部因果的構造は双対境界理論にどのような制約を課えるか？
• RQ5 漸近的にAdS時空において、バタフライ速度は常に光速によって上から抑えられるか？ その上限が達成される条件は何か？

主な発見

• バタフライ速度はオペレーターに依存し、エンタングルメントウェッジ再構成を通じて内部因果的構造によって決定され、熱的状態の一般化が可能である。
• 回転対称でアインシュタイン方程式とエネルギー条件を満たす幾何において、赤方偏移が大きい（深く）内部オペレーターは、赤方偏移が小さい（浅い）オペレーターよりも遅いバタフライ速度を持つ。
• 漸近的にAdS時空では、すべての境界バタフライ速度は光速によって上から抑えられ、因果的ウェッジとエンタングルメントウェッジが一致する場合に限り等しくなる。
• 境界領域の因果的ウェッジとエンタングルメントウェッジが一致する場合、幾何的比較によりバタフライ速度が光速に等しくなることが証明される。
• 平坦空間では、半径$ r = \Lambda \cos\Theta / \cos\theta_x $ に位置する内部場を境界オペレーターが再構成する場合、バタフライ速度は$ v = c / \sin\Theta $ となる。$ \Theta < \pi/2 $ のとき$ c $ を超えるため、非AdS設定では光速の上限が破綻することが示唆される。
• この結果は、平坦空間重力の双対理論が、バタフライ速度の上限の破綻に由来する制約を満たさなければならないことを示唆し、AdSを超える新しい量子重力の制約を示唆する。