[論文レビュー] Byzantine Approximate Agreement on Graphs

Thomas Nowak, Joel Rybicki|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Aug 7, 2019

Distributed systems and fault tolerance被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限グラフ上のバシルライン近似合意を導入し、プロセッサが非故障入力のグラフ誘導凸包内に留まりながら、グラフ距離内で距離 $ d $ 以内の出力値に合意する必要がある。$ d \geq 1 $ の場合、グラフが弦的であり、$ n > (\omega + 1)f $ である限り、非同期システムにおいてそのタスクが解けることを証明し、組合せ構造におけるラティス合意の変種に対する、初めてのバシルライン耐性アルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

Consider a distributed system with $n$ processors out of which $f$ can be Byzantine faulty. In the approximate agreement task, each processor $i$ receives an input value $x_i$ and has to decide on an output value $y_i$ such that - the output values are in the convex hull of the non-faulty processors' input values, - the output values are within distance $d$ of each other. Classically, the values are assumed to be from an $m$-dimensional Euclidean space, where $m \ge 1$. In this work, we study the task in a discrete setting, where input values with some structure expressible as a graph. Namely, the input values are vertices of a finite graph $G$ and the goal is to output vertices that are within distance $d$ of each other in $G$, but still remain in the graph-induced convex hull of the input values. For $d=0$, the task reduces to consensus and cannot be solved with a deterministic algorithm in an asynchronous system even with a single crash fault. For any $d \ge 1$, we show that the task is solvable in asynchronous systems when $G$ is chordal and $n > (ω+1)f$, where $ω$ is the clique number of~$G$. In addition, we give the first Byzantine-tolerant algorithm for a variant of lattice agreement. For synchronous systems, we show tight resilience bounds for the exact variants of these and related tasks over a large class of combinatorial structures.

研究の動機と目的

• 入力値が有限グラフの頂点である離散的・組合せ的設定におけるバシルライン近似合意を研究すること。
• グラフ誘導凸包を定義し、出力がそれ以内にあり、互いに距離 $ d $ 以内に位置することを要件とすること。
• 非同期および同期システムにおける近似合意の耐障害性の境界と解法条件を確立すること。
• 分散合意の理論を、特にグラフや半ラティスから生じる凸幾何学的空間を含む離散凸性空間へと拡張すること。
• 組合せ構造におけるラティス合意の変種に対する、初めてのバシルライン耐性アルゴリズムを提示すること。

提案手法

• 入力値を有限グラフ $ G $ の頂点としてモデル化し、出力が $ G $ 内で距離 $ d $ 以内にあり、非故障入力のグラフ誘導凸包内にあることを要件とする。
• 単調凸性の概念を用いて、グラフ誘導凸包を定義し、集合がその要素間のすべての最短経路を含む場合に凸と定義する。
• 連続的近似合意を離散的構造へ一般化する、$ d $-近似合意の概念を導入する。
• 特に凸幾何学を用いて、Carathéodory数とHelly数を用いて解法条件を特徴付ける抽象凸性理論を用いる。
• 極端な点を活用し、非極端な頂点を貪欲に除外することで、弦的グラフにおける近似合意の決定的アルゴリズムを構築する。
• 凸幾何学の理論を応用して耐障害性の境界を導出し、Helly数とCarathéodory数を用いて同期システムにおけるタイトネスを証明する。

Figure 1: Examples of geodesic and monophonic agreement on graphs. In the top row, the blue and orange vertices form a convex hull of the blue vertices for each graph under (a)–(d) geodesic and (e) monophonic convexities. The thick edges lie in the shortest (geodesic) or chordless (monophonic) paths

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力値が有限グラフの頂点であり、出力がグラフ距離で近い場合、非同期システムでバシルライン近似合意が解けるか？
• RQ2 弦性などのグラフ $ G $ の構造的性質が、$ d \geq 1 $ の近似合意の解法を保証するか？
• RQ3 離散的組合せ構造におけるラティス合意の変種に対して、バシルライン耐性アルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 凸幾何学のCarathéodory数とHelly数が、近似合意の耐障害性境界とどのように関係するか？
• RQ5 結果を非弦的グラフや、凸幾何学を超える一般の凸性空間へ拡張可能か？

主な発見

• $ d \geq 1 $ の場合、有限グラフ $ G $ におけるバシルライン近似合意は、$ n > (\omega + 1)f $ かつ $ G $ が弦的である限り、非同期システムで解ける。ここで $ \omega $ は $ G $ のクリーク数である。
• グラフが弦的である場合、単調凸性におけるグラフ誘導凸包は凸幾何学を形成し、抽象凸性のツールの使用を可能にする。
• 任意の冗長性のない集合 $ A $（サイズ $ m > 1 $）に対して $ m $-ブロッキングインスタンスが存在し、これは極端な点の貪欲な除外を用いた解法の証明の鍵となる。
• 半ラティスにおけるラティス合意の変種に対する、新しいバシルライン耐性アルゴリズムを提示し、合意プロトコルの適用範囲を離散的代数的構造へ拡張する。
• 同期システムでは、大規模な組合せ的構造クラスにおける正確合意タスクに対してタイトな耐障害性境界が確立され、境界は下位の凸幾何学のHelly数と一致する。
• 本稿では、非弦的グラフにおける近似合意の可解性や、より高いCarathéodory数を持つ凸性空間における研究の未解決問題を特定している。

Figure 2: Approximate agreement on chordal graphs via clique trees. (a) The chordal value graph $G$ and three input values $X=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}\subseteq V(G)$ . (b) An expanded clique tree $(T,\chi)$ of $G$ . The bags $B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$ satisfy $x_{i}\in\chi(b_{i})$ and the bags are used