[論文レビュー] $C^0$-coerciveness of Moser's problem and smoothing area preserving homeomorphisms

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Jan 9, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、体積形式に関連する測度の弱位相を用いて、モーザーの問題の $C^0$-強制性を確立し、任意の2次元多様体上の面積保存ホメオモルフィズムが面積保存微分同相写像により $C^0$-近似可能であることを証明する。主な結果は、2次元においてシンプレクティックホメオモルフィズム群が面積保存ホメオモルフィズム群と一致することを確認し、シンプレクティック位相幾何学における予想を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we establish the $C^0$-coerciveness of Moser's problem of mapping one smooth volume form to another in terms of the weak topology of measures associated to the volume forms. The proof relies on our analysis of Dacorogna-Moser's solution to Moser's problem of mapping one volume form to the other with the same total mass. As an application, we give a proof of smoothing result of area preserving homeomorphisms and its parametric version in two dimension, (or more generally in any dimension in which the smoothing theorem of homeomorphisms is possible, e.g., in dimension 3 but not necessarily in dimension 4). This in turn results in coincidence of the area-preserving homeomorphism group and the symplectic homeomorphism group in two dimension.

研究の動機と目的

• 体積形式に関連する測度の弱位相に基づいて、モーザーの問題の $C^0$-強制性を確立すること。
• コンパクトな2次元多様体上での任意の面積保存ホメオモルフィズムが、面積保存微分同相写像により $C^0$-近似可能であることを証明すること。
• 2次元においてシンプレクティックホメオモルフィズム群が面積保存ホメオモルフィズム群と一致することを示すことにより、シンプレクティック位相幾何学における予想を解決すること。
• 2次元における面積保存ホメオモルフィズムのパラメトリックホモトピーへの滑らか化結果の拡張を図ること。

提案手法

• 体積保存微分同相写像を構成する基盤として、ダコローガ・モーザーのモーザー問題の解法を用いる。
• ダコローガ・モーザー構成の強制的再定式化を適用し、得られる微分同相写像の $C^0$-ノルムを制御する。
• 立方体上での三角行列写像と線形化スキームを用いて、問題を局所的推定に還元する。
• 開写像定理と測度論的推定を用いて、摂動下での体積形式の差を有界化する。
• ダコローガ・モーザー構成における高階項を分析し、解の $C^0$-ノルムを制御する。
• ベクトル場成分の $L^\infty$-ノルムと $\zeta$-依存摂動を用いて、測度歪みの均一なバウンディングを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーザーの問題は、体積形式に関連する測度の弱位相に関して $C^0$-強制的に定式化可能か？
• RQ2 任意の2次元多様体上での面積保存ホメオモルフィズムは、面積保存微分同相写像により $C^0$-近似可能か？
• RQ3 2次元において、シンプレクティックホメオモルフィズム群は面積保存ホメオモルフィズム群と一致するか？
• RQ4 2次元における面積保存ホメオモルフィズムのホモトピーへの滑らか化結果は、拡張可能か？
• RQ5 測度保存性は、高次元においてもホメオモルフィズムを微分同相写像により $C^0$-近似可能にするか？

主な発見

• 測度の弱位相を用いて、モーザーの問題の $C^0$-強制性が確立され、体積形式の小さな $C^0$-摂動が、問題を解く微分同相写像の小さな $C^0$-摂動に対応することが保証される。
• コンパクトな2次元多様体上での任意の面積保存ホメオモルフィズムは、面積保存微分同相写像により $C^0$-近似可能であり、これにより定理 I′ が証明される。
• 2次元において、シンプレクティックホメオモルフィズム群 $\mathrm{Sympeo}(\Sigma,\omega)$ は、面積保存ホメオモルフィズム群 $\mathrm{Homeo}^\Omega(\Sigma)$ と一致する。
• パラメトリック版の滑らか化結果が成立する：任意の面積保存ホメオモルフィズムのホモトピーは、面積保存微分同相写像の滑らかなホモトピーにより $C^0$-近似可能である。
• 滑らか化の証明は、微分同相写像によるホメオモルフィズムの近似が可能な任意のコンパクト多様体に拡張可能であり、例えば次元3では成立するが、次元4では必ずしも成立しない。
• ダコローガ・モーザー解の $C^0$-ノルムに対する均一なバウンディングが導出され、誤差項は $|\zeta \cdot u||u|$ および $\varepsilon_1(\zeta)$ で制御され、強制性が確認される。