[論文レビュー] $C^0$ Discontinuous Galerkin Methods for a Kirchhoff Plate Contact Problem

Fei Wang, Tianyi Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、摩擦を伴うキルヒホッフ板接触問題をモデル化する4次楕円型変分不等式に適応する$C^0$不連続ガレルキン（DG）法を開発・分析する。著者らは、C0 IP、NIPG、Wells-Dung、Baker-DG、LCDGの5つの既存DGスキームを拡張し、一貫性および安定性の厳密な解析を実施し、弱い正則性仮定の下で最良の次数の誤差推定を導出。数値的に確認された収束率はエネルギーノルムおよび$H^1$ノルムで1に近く、最良の収束性を示した。

ABSTRACT

Discontinuous Galerkin (DG) methods are considered for solving a plate contact problem, which is a 4th-order elliptic variational inequality of second kind. Numerous $C^0$ DG schemes for the Kirchhoff plate bending problem are extended to the variational inequality. Properties of the DG methods, such as consistency and stability, are studied, and optimal order error estimates are derived. A numerical example is presented to show the performance of the DG methods; the numerical convergence orders confirm the theoretical prediction.

研究の動機と目的

• 4次楕円型変分不等式（キルヒホッフ板摩擦接触問題に由来）を解くために$C^0$不連続ガレルキン法を拡張すること。
• この種の変分不等式に対して、提案されたDGスキームの一貫性および安定性特性を確立すること。
• 弱い正則性仮定の下で、$C^0$ DG法の最良の次数の誤差推定を導出すること。
• $h$-refinementを用いたベンチマーク問題を用いて、理論的収束率の数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• 数値的境界値（数値的トレース）とペナルティ項を組み込んだことで、5つの既存の$C^0$ DG型式（C0 IP、NIPG、Wells-Dung、Baker-DG、LCDG）を4次変分不等式に適応する。
• 離散問題を凸最小化問題として定式化：$\min_{u^h \in V^h} \frac{1}{2}a(u^h,u^h) + j_h(u^h) - (f,u^h)$、ここで$j_h$は接触ポテンシャルを表す。
• 離散最適化問題を解くためにプライマル・デュアル固定点アルゴリズムを用い、デュアルステップで$\ell_1$-ノルム項に近接作用素を適用する。
• 誤差収束を測定するために、エネルギーノルム$\interleave \cdot \interleave$および$H^1(\Omega)$半ノルムを定義する。
• 一貫性があり、安定な$C^0$ DG型式（LCDG）を適用し、大きなペナルティパラメータに依存しない、定量的な安定性条件を得る。
• 粗いメッシュの誤差を評価するため、最も細かいメッシュ（$h = 1/64$）の解を基準として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の双曲型方程式に適応した$C^0$ DG法を、板接触問題に由来する4次変分不等式に拡張できるか？
• RQ2 拡張された$C^0$ DGスキームが、この変分不等式問題に対して一貫性および安定性を示すか？
• RQ3 提案されたDG法は、エネルギーノルムおよび$H^1$ノルムにおいて最良の収束次数を達成するか？
• RQ4 C0 IP、LCDG、Wells-Dungなどの異なるDG型式は、精度および収束挙動においてどのように比較できるか？
• RQ5 プライマル・デュアル固定点アルゴリズムは、$\ell_1$-正則化を含む離散凸最適化問題を効率的に解けるか？

主な発見

• 提案された$C^0$ DG法はエネルギーノルムにおいて最良の収束次数を達成し、5つのスキームすべてで数値的収束率が1にほぼ等しい。
• 数値結果により、$H^1(\Omega)$半ノルムにおける収束次数も1に近く、理論的予測と一致した。
• LCDG法は、安定な定式化を提供し、安定性を保証するために恣意的な大きなペナルティ値を必要としない、定量的なペナルティパラメータを有する。
• Wells-DungおよびBaker-DG型式は、C0 IPおよびNIPGと同等の性能を示し、異なるペナルティパラメータ$\eta$に対しても一貫した収束挙動を示した。
• プライマル・デュアル固定点アルゴリズムは、近接作用素により$\ell_1$-正則化項に対して明示的な更新が可能であり、離散問題を効率的に解ける。
• すべての方法について、$h$を半分にするとエネルギーノルムの誤差が約2倍に減少し、1次収束が確認された。